A lo largo de la historia, el ser humano ha sido consciente de la importancia de las matemáticas para entender el funcionamiento del mundo físico que nos rodea.

La ampliación de los diferentes conjuntos numéricos surgieron como una necesidad para resolver problemas de la vida cotidiana, la construcción, la física o la astronomía.

Las fracciones ya eran conocidas por los babilonios, griegos y egipcios. Pero el descubrimiento de los números irracionales tuvo que esperar mucho tiempo hasta que en el año 500 a. C. Hipaso de Metaponto, discípulo de Pitágoras, demostró que el número √2 no es un número racional.

Desde entonces, el conjunto de los números reales ha favorecido la creación de nuevas ramas de la matemática, lo que ha dado lugar al desarrollo de la física y de la tecnología.

Para comprender qué tipos de números forman el conjunto de los números reales, vamos a hacer un repaso de los diferentes conjuntos numéricos estudiados hasta ahora y la necesidad de las sucesivas ampliaciones.

Los números naturales

El conjunto numérico más simple es el de los números naturales, $\mathbb{N}=\left\{1,2,3,4,\ldots\right\}$. Lo utilizamos para contar y es el primero que se enseña en la escuela.

Pero hay situaciones que no pueden ser descritas correctamente utilizando solo los elementos de este conjunto. Por ejemplo, la temperatura por debajo de cero grados, las plantas de un edificio situadas por debajo de la planta baja, etc.

Los números enteros

Esto nos lleva a definir el conjunto de los números enteros, $\mathbb{Z}=\left\{.......,-4,-3,-2,-1,0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ldots\right\}$, que incluye a los naturales con signo positivo y con signo negativo.

Sin embargo, cuando dividimos dos números enteros, la división no siempre es exacta, es decir, el cociente no es un número entero como, por ejemplo, $\dfrac{3}{2}$ . Para dar cabida a este nuevo tipo de número definimos el conjunto de la números racionales. 

Los números racionales

El conjunto de los números racionales se representa por $\mathbb{Q}$ y está formado por todos los cocientes o fracciones de dos números enteros $\mathbb{Q} =\{ \dfrac{a}{b}, \ tal \ que \ a,b\in \mathbb{Z} ,b\neq 0\}$

Ejemplos: $-\dfrac{3}{4},\dfrac{5}{9}, \ 31.272727\ldots $

Este nuevo conjunto incluye a los enteros, pues cualquier número entero puede escribirse en forma de fracción, por ejemplo, $-3=\dfrac{-3}{1}$

Todos los números racionales admiten una expresión decimal que se obtiene extendiendo el algoritmo de la división del numerador entre el denominador de la fracción, dando lugar a la aparición de la coma decimal.

Los números racionales se caracterizan porque su expresión decimal es siempre exacta o periódica. 

La fracción $\dfrac{5}{4}=1,25$ es un decimal exacto, pero $\dfrac{131}{99}=1,323232\ldots .$ es un número decimal periódico puro (se repite toda la parte decimal, en nuestro caso el grupo 32) y $\dfrac{5221}{990}=5,2737373\ldots $, es un número decimal periódico mixto (alguna cifra decimal no se repite, en nuestro caso la cifra 2, y el resto de la parte decimal si se repite, el grupo 73).

Sin embargo, nosotros podemos construir números decimales que no sean periódicos como, por ejemplo, 1,101001000100001....... Observa cómo la parte decimal no es periódica ya que hay un patrón de construcción que impide que se repita, pues vamos aumentando el número de ceros entre dos unos consecutivos. 

A este nuevo tipo de número le llamamos número irracional.