1. Generalidades sobre la programación lineal

La definición de un buen problema matemático es la matemática que genera en lugar del problema en sí.

Andrew Wiles.

Programación Lineal.

Esta Situación de Aprendizaje nos conducirá, a través de distintos métodos, técnicas y herramientas, no sólo a la resolución (eficacia) sino a la excelencia de la solución (eficiencia) de un problema adaptado a un cierto modelo matemático como es la Programación Lineal. El objetivo de un modelo matemático, como vimos en la Situación de Aprendizaje 2 el bloque 2, es reproducir la realidad de la forma más fiel posible, a fin de entender cómo se comporta y poder obtener respuestas a determinadas acciones. La programación lineal es un tipo de modelo matemático que se desarrolló a partir de la Segunda Guerra Mundial para resolver cierto tipo de problemas de asignación de recursos entre distintas actividades. Posteriormente, estos métodos se extendieron a una amplia variedad de problemas, de manera que hoy se utiliza en campos como la ingeniería, la economía, la gestión, la sociología, y muchas otras áreas de la ciencia, la técnica y la industria. La Programación Lineal fue formulada por George B. Dantzig alrededor de 1.947. Este término fue acuñado por el economista y matemático T.C. Koopmans en el verano de 1.948, cuando colaboraba con el propio Dantzig. En 1.949, Dantzig publicó el método del Simplex para resolver programas lineales, método que fue ampliamente aceptado por su capacidad de producir soluciones en un tiempo razonable. La programación lineal estudia la optimización (minimización o maximización) de una función lineal que satisface un conjunto de restricciones lineales de igualdad y/o desigualdad.

Imagen de elaboración propia generada con Bing AI. Programación lineal. (CC0)

Eficacia y eficiencia.
Son dos conceptos relacionados pero distintos que se utilizan para evaluar el rendimiento o éxito de una actividad, proceso o sistema. Aquí te presentamos algunas diferencias entre ambos términos:
Eficacia: Se refiere a la capacidad de lograr un resultado deseado o alcanzar un objetivo específico. Es la medida del éxito en la consecución de un propósito, independientemente de los recursos utilizados o del tiempo empleado. Una actividad es eficaz si logra los objetivos establecidos.
Eficiencia: Hace referencia a la capacidad de realizar una tarea o actividad empleando la menor cantidad de recursos posibles, como tiempo, dinero o esfuerzo. La eficiencia se relaciona con la optimización de los recursos para lograr los resultados deseados, tratando de minimizar el desperdicio y maximizar la productividad. Una actividad es eficiente si logra los objetivos utilizando la menor cantidad de recursos posible.
Ejemplo: Un equipo puede ser eficaz si cumple con los plazos y produce un producto de alta calidad, independientemente de cuánto tiempo o dinero se haya invertido (eficaz pero no necesariamente eficiente).
Un equipo es eficiente si cumple con los plazos y produce un producto de alta calidad utilizando la menor cantidad de tiempo y recursos posibles.
En resumen, mientras que la eficacia se centra en lograr los objetivos, la eficiencia se enfoca en lograr esos objetivos de manera óptima, minimizando el uso de recursos. Ambos conceptos son importantes en la evaluación del desempeño y la mejora de procesos.

Algunos Métodos de Programación Lineal.
Como era de esperar, muy pocos problemas de la vida cotidiana implican únicamente dos variables. En el caso de la programación lineal esto queda aún más patente. Por tanto, la solución gráfica tiene un valor limitado al referirse únicamente a problemas de dos variables. Sin embargo, la discusión de estos problemas nos proporciona una base para la comprensión de los problemas de programación lineal y las estrategias generales para resolverlos. Todos los problemas de programación lineal tienen una región factible y una solución óptima, que se encuentra en algún punto extremo de la región (en el caso que el problema no sea ilimitado). Esto es cierto para todos los problemas de programación lineal con independencia del número de variables de decisión. A pesar de que es bastante fácil graficar la región factible para un problema con dos variables, resulta en extremo difícil visualizar o representar de manera gráfica la región factible de uno con tres variables, porque es de tres dimensiones. De igual forma, si el problema es de más de tres variables, es prácticamente imposible visualizar o representar gráficamente su región factible, porque implica más de tres dimensiones. Por fortuna, existen varias técnicas matemáticas para resolver problemas de programación lineal con casi cualquier número de variables sin visualizar o representar gráficamente sus regiones factibles. Estas técnicas están integradas en paquetes de hojas de cálculo, por lo que la solución de estos problemas es una tarea bastante simple. El principal desafío es garantizar que sea posible formular y comunicar de manera correcta el problema que quiere resolverse. Vamos a exponer, por tanto, distintos métodos para resolver un mismo problema, el de Programación Lineal. La elección de alguno de los métodos expuestos dependerá del número de variables que intervengan en el mismo. De este modo queda justificada la necesidad de su conocimiento, uso y manejo. En concreto, estudiaremos los siguientes Métodos:
1.- Método analítico (2 variables).
2.- Método Gráfico (2 variables).
3.- Método Solver (Excel y Libre Office) (2 o más variables).
4.- Método Simplex (2 o más variables).