1. Capitalización y amortización
Al comienzo de la situación de aprendizaje se te han presentado estos dos conceptos de forma un poco superficial. Ahora llega el momento de que los conozcas con más detalle.
Capitalización: la capitalización es el proceso mediante el cual una cantidad de dinero aumenta su valor a lo largo del tiempo al generar intereses o rendimientos. La capitalización se aplica principalmente a inversiones financieras, como cuentas de ahorro, bonos, acciones o fondos de inversión. A medida que pasa el tiempo, los intereses generados se suman al capital inicial, y en cada período se calcula el rendimiento sobre el nuevo saldo, lo que lleva a un crecimiento exponencial del capital.
Existen dos tipos principales de capitalización:
- La capitalización simple se basa en el cálculo de intereses únicamente sobre el capital inicial.
- La capitalización compuesta tiene en cuenta los intereses generados en períodos anteriores. La capitalización compuesta es más común y generalmente produce un crecimiento más rápido del capital a largo plazo.
Anualidades de capitalización
Formulario correspondiente a las anualidades de Capitalización.
Cálculo de la anualidad de capitalización:
Modalidad anticipada
Datos a considerar:
$\ a = anualidad$
$\ r = interés\ unitario\ anual$
$\ n = número\ de\ años$
$\ C = capital\ final\ alcanzado$
| Orden de ingreso | Anualidad | Capital final |
| 1ª | $\ a$ | $\ a(1+r)^n$ |
| 2ª | $\ a$ | $\ a(1+r)^{n-1}$ |
| 3ª | $\ a$ | $\ a(1+r)^{n-2}$ |
| ... | ... | ... |
| nª | $\ a$ | $\ a(1+r)$ |
| SUMA TOTAL: | $\ S_n=C=\frac{a(1+r)((1+r)^n-1)}{(1+r)-1}$ |
$\ C=\frac{a(1+r)((1+r)^n-1)}{r}$
En el caso de que haya k aportaciones regulares al año, obtendríamos la expresión del Capital final:
$\ C=\frac{a(1+\frac{r}{k})((1+\frac{r}{k})^{n·k}-1)}{\frac{r}{k}}$
A partir de aquí, podemos despejar el valor de la anualidad $a$ para los demás datos de $C,\ r\ y\ n$ dados:
$\ a=\frac{C·r}{(1+r)·((1+r)^n-1)}$en el primer caso y para k aportaciones anuales, obtendríamos el siguiente valor de:
$\ a=\frac{C·{\frac{r}{k}}}{(1+{\frac{r}{k}})·((1+{\frac{r}{k}})^{n·k}-1)}$
Ejemplos resueltos:
1.- Si ingresamos 1.000 € al año en un depósito al 2% durante 6 años. ¿Qué capital final obtendré?
Solución:
Datos a considerar para $\ k=1$
$\ r = interés\ unitario\ anual\ =\ 0.02$
$\ n = número\ de\ años\ =\ 6$
$C=\frac{a (1+r)\left((1+r)^n-1\right)}{r}\text{/.}\{a\to 1000,r\to 0.02,n\to 6\}$
$C=\frac{1000 · (1+0.02)\left((1+0.02)^6-1\right)}{0.02}$= 6434.28 €
2.- Contratamos un depósito al 4% durante 5 años. ¿Qué cantidades semestrales debemos aportar para obtener un capital final de 20.000 €?
Solución:
Datos a considerar para $\ k=2$
$\ r = interés\ unitario\ anual\ =\ 0.04$
$\ n = número\ de\ años\ =\ 5$
$\ C = capital\ final\ alcanzado\ =\ 20000$
$a=\frac{C\frac{ r}{k}}{\left(1+\frac{r}{k}\right) \left(\left(1+\frac{r}{k}\right)^{k n}-1\right)}\text{/.}\{C\to 20000,k\to 2,r\to 0.04,n\to 5\}$
$a=\frac{20000·\frac{ 0.04}{2}}{\left(1+\frac{0.04}{2}\right) \left(\left(1+\frac{0.04}{2}\right)^{2·5}-1\right)}$
$a=1790.72\ €$
Se realiza el ingreso al principio de cada periodo de capitalización
Amortización: La amortización, por otro lado, es el proceso mediante el cual se reduce gradualmente una deuda o inversión a lo largo del tiempo mediante pagos periódicos. La amortización se aplica principalmente a préstamos, hipotecas o cualquier otro tipo de deuda que requiera pagos regulares. Estos pagos incluyen tanto los intereses generados por la deuda como una parte del principal pendiente.
En el caso de préstamos o hipotecas, los pagos se realizan generalmente en cuotas iguales a lo largo de un período de tiempo establecido. Al principio, la mayor parte del pago se destina a cubrir los intereses y solo una pequeña porción se aplica a la reducción del principal. A medida que se realizan los pagos, la proporción que se destina a la reducción del principal aumenta, lo que lleva a una amortización gradual de la deuda hasta que se pague por completo.
En resumen, la capitalización implica el crecimiento del capital a través del tiempo, mientras que la amortización se refiere a la reducción gradual de una deuda o inversión. Estos conceptos son fundamentales para comprender cómo el dinero se maneja y crece en el ámbito financiero.
Anualidades de Amortización
Formulario correspondiente a las anualidades de Amortización.
Cálculo de la anualidad de amortización:
Modalidad diferida
Datos a considerar:
$\ a = anualidad$
$\ r = interés\ unitario\ anual$
$\ n = número\ de\ años$
$\ D_i = deuda\ inicial\ $
$\ D_f = deuda\ final\ amortizada $
| Orden de ingreso | Anualidad | Capital final |
| 1ª | $\ a$ | $\ a(1+r)^{n-1}$ |
| 2ª | $\ a$ | $\ a(1+r)^{n-2}$ |
| 3ª | $\ a$ | $\ a(1+r)^{n-3}$ |
| ... | ... | ... |
| nª | $\ a$ | $\ a$ |
| SUMA TOTAL: | $\ S_n=\frac{a((1+r)^n-1)}{(1+r)-1}$ |
$\ D_f=D_i·(1+r)^n=S_n=\frac{a((1+r)^n-1)}{r}\to\ a=\frac{D_i·(1+r)^n· r}{(1+r)^n-1}$
En el caso de que haya k aportaciones regulares al año, obtendríamos la expresión de la Deuda final amortizada del modo:
$\ a=\frac{D_i·(1+\frac{r}{k})^{n·k}· \frac{r}{k}}{(1+\frac{r}{k})^{n·k}-1}$
Ejemplos resueltos:
Calcula la mensualidad de un préstamo hipotecario de 120.000 € a devolver en 25 años a un tipo de interés anual del 2%
Solución.-
$\ a=\frac{120000*\left(1+\frac{0.02}{12}\right)^{(25*12)}*\frac{0.02}{12}}{\left(1+\frac{0.02}{12}\right)^{(25*12)}-1}=508.63 \ €$
Se realiza el ingreso al término de cada periodo de capitalización
