5.1. Ecuaciones exponenciales

Importante

Las ecuaciones exponenciales son aquellas en las que la incógnita aparece en el exponente, para resolverlas se aplican las propiedades de las potencias o un cambio de variable hasta llegar a una ecuación de la forma ax=b. Esta se resolverá bien directamente (si b se puede poner como una potencia de base a, igualando los exponentes), bien tomando logaritmos.

Veamos distintos tipos de ecuaciones exponenciales y ejemplos de como resolverlas:

  • El tipo más sencillo es de la forma ax=b donde a y b se pueden poner como potencias con la misma base, por ejemplo:

  • No tan evidente resulta cuando en la ecuación ax=b a y b no se pueden poner como potencias de la misma base. En este caso aplicamos la definición de logaritmo como mostramos en el ejemplo siguiente:

Aplicando la definición de logaritmo quedaría que  x=\log_3 25

  • Si la expresión exponencial va acompañada de un factor de la forma: c·ax=b despejamos ax=b/c y resolvemos la ecuación resultante como alguno de los casos anteriores. Por ejemplo:

5\cdot{4^x}=80 \ \Rightarrow \ 4^x=\frac{80}{5} \ \Rightarrow \ 4^x=16 \ \Rightarrow \ 4^x=4^2 \ \Rightarrow \ x=2

Por último veamos una un poco más compleja:

(2^{x+5})^x=\frac{1}{2^6} \ \Rightarrow \ 2^{(x+5)\cdot x}=2^{-6} \ \Rightarrow 2^{x^2+5x}=2^{-6} \ \Rightarrow \ x^2+5x=-6 \ \Rightarrow \ x^2+5x+6=0 \ \Rightarrow \ x_1=-2; \ x_2=-3

Reflexiona

Resuelve las siguientes ecuaciones:

a)  4\cdot{3^{7x-12}}=36

b)  (\frac{4}{5})^{3x-9}=(\frac{5}{4})^{2x-1}

c)  

Cuando en la ecuación aparecen varios términos exponenciales sumando o restando tenemos que recurrir al cambio de variable. Para ver más claro este tipo de ecuación resolvamos algunos ejemplos: 

3^{x+2}+5\cdot{3^{x+1}}=9\cdot{3^{x-1}}+7

 

Primero trabajamos con las propiedades de las potencias para que la única expresión exponencial que aparezca sea 3x :

3^x\cdot{3^2}+5\cdot{3^x\cdot{3}}=9\cdot{\frac{3^x}{3^1}}+7 \ \Rightarrow \ 9\cdot{3^x}+15\cdot{3^x}=3\cdot{3^x}+7

 

Para que resulte más sencillo trabajar con la anterior expresión hacemos el cambio de variable t=3x, de manera que la expresión quedaría:

9t+15t=3t+7

 

Que no es más que una ecuación polinómica de primer grado muy sencilla de resolver:

21t=7 \ \Rightarrow \ t=\frac{7}{21} \ \Rightarrow \ t=\frac{1}{3} \ \Rightarrow \ t=3^{-1}

 

Una vez resuelta, se deshace el cambio de variable y calculamos el valor de x:

3^x=3^{-1} \ \Rightarrow \ x=-1

Veamos otro ejemplo: 

25^x+5=30\cdot{5^{x-1}}

Trabajamos igual que con la ecuación anterior, aunque en este caso hay que tener en cuenta que las exponenciales no tienen la misma base. Lo que hacemos es sustituir 25 por 52 y dejar todo en función de 5x :

(5^2)^x+5=30\cdot{\frac{5^x}{5}}\Rightarrow{(5^x)^2+5=6\cdot{5^x}}

Hacemos el cambio de variable t=5x y resolvemos la ecuación de segundo grado resultante:

t^2+5=6t \Rightarrow t^2-6t+5=0 \Rightarrow t_1=1; \ t_2=5

Deshaciendo el cambio quedaría:

5^x=1 \Rightarrow 5^x=5^0 \Rightarrow x=0; \ 5^x=5 \Rightarrow 5^x=5^1 \Rightarrow x=1

Comprueba lo aprendido

Pregunta

Indica la solución de la siguiente ecuación:    

Respuestas

x = 1

x = 2

x = 0

x = -1

Retroalimentación

Pregunta

Señala las soluciones de la siguiente ecuación: 

Respuestas

x = 0

x = 1

x = 2

x = 3

Retroalimentación

Reflexiona

Intenta resolver esta ecuación que te proponemos:

Reflexiona

En el siguiente enlace puedes practicar ecuaciones exponenciales.

Para saber más

Para terminar el apartado te ofrecemos este completo resumen.

Ecuaciones exponenciales

PDF de Jesús Plaza M. en 3con14. Licencia CC

Curiosidad

¿Recordáis la película de Jurasic Park? Unos científicos obtuvieron ADN de dinosaurios de unos mosquitos de la época de los grandes reptiles, conservados en ámbar. Pero... ¿cómo sabían que los mosquitos eran de esa época? Si se tratara de un estudio real, podríamos suponer que habrán utilizado métodos de datación como el de carbono 14. Precisamente este método (junto con otros métodos de datación radiactiva) siguen una función exponencial, con un parámetro diferente para cada elemento radiactivo, pero similares en su estructura:

N=N0·e-λt

donde t sería el tiempo, en tanto que N y N0 son variables dependientes de número de átomos en cada momento.

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