2.1. Características principales

En los temas del bloque de Análisis, hemos estado estudiando conceptos acerca de las funciones que hemos ido poniendo en práctica conforme se iban desarrollando.

En este tema, a modo de colofón, los usaremos todos juntos, con el objetivo de realizar e interpretar la representación gráfica de las funciones. Definición de función, dominio, cortes con los ejes, continuidad, límites para el cálculo de asíntotas, ... y haremos uso especialmente de las derivadas para el estudio de la monotonía (cálculo de máximos y mínimos relativos) y de la curvatura (obtención de puntos de inflexión)

En muchos ámbitos de nuestra vida, es conveniente guiarnos por un determinado procedimiento a la hora de realizar un trabajo. Es por ello, por lo que hemos considerado conveniente, seguir el mismo esquema para todos los estudios de representaciones gráficas que llevemos a cabo en la unidad.

Dicho esquema, se detalla a continuación, a modo de cuadro resumen:

 

 

CUADRO RESUMEN PARA PARA REPRESENTAR FUNCIONES

Función: f(x) = ____________

 

1. Tipo de función
    Polinómica, racional, a trozos, trigonométrica, exponencial, logarítmica, ...

     

    2. Dominio

     

    El dominio de definición de la función en forma de intervalos o unión de intervalos de la recta real. Es decir, el conjunto de valores que puede tomar la variable independiente, x.

     

     

    3. Continuidad

     

     

    Una función es continua si se puede dibujar sin levanta de un sólo trazo, sin levantar el lápiz del papel.

    Indicar, intervalos o unión de intervalos de la recta real donde es continua.

    Indicar además, en aquellos puntos donde no sea continua, indicar el tipo de discontinuidad que presenta.

     

     

    4. Simetría

     

    Si es Par, simétrica respecto al eje OY, f(x)=f(-x)

    Si es Impar, simétrica respecto al origen de coordenadas, f(x)= -f(-x)

    O no presenta ningún tipo de simetría, que es lo más habitual.

     

     

    5. Asíntotas

     
    Las asíntotas son las rectas a las que se acerca la función en puntos muy alejados del origen sin llegar a tocarlas. Pueder ser de tres tipos.
    Se deben indicar, en caso de que existan, las asíntotas horizontales, verticales, oblicuas.

     

    6. Puntos de corte con los ejes.

       
      Son los puntos en los que x=0 y/o y=0. La gráfica puede cortar al eje OX en varios puntos, pero al eje OY puede cortarlo, como máximo en uno.
      Obtener los puntos de corte con los ejes coordenados, en caso de que los hubiera.

       

      7. Máximos y mínimos relativos. Monotonía

       

      Obtener con ayuda de las derivadas primera (f') y segunda (f'') los máximos y mínimos relativos.

      Mediante el estudio del signo de la derivada primera, estudiar la monotonía de la función, es decir, describir aquellos intervalos donde la función crece/decrece/permanece constante.

       

       

      8. Puntos de inflexión. Curvatura

       

       

      Calcular los puntos de inflexión con ayuda de la derivada segunda (f'') los puntos de inflexión, puntos donde la función cambia su curvatura.

      Realizar el estudio de la curvatura de la función, indicando donde la función es cóncava y donde es convexa.

       

       

      9. Recorrido o imagen

       
      Indicar el conjunto de valores que toma la variable independiente, y.
       

       

      Vamos a recordar de manera breve algunas definiciones de conceptos ya estudiados y procedimientos ya vistos en temas anteriores, para que puedas afrontar con garantías el resto del tema.

      Concretamente, trataremos: monotonía (crecimiento y decrecimiento), máximos y mínimos, curvatura (concavidad y convexidad), puntos de inflexión y asíntotas.

      Importante

      Cuando hablamos de monotonía, nos estamos refiriendo al comportamiento de una función respecto a su crecimiento o decrecimiento. Una función f derivable es:

      · Creciente en el intervalo (a,b) si en todo el intervalo (a,b)

      · Decreciente en el intervalo (a,b) si en todo el intervalo (a,b)

        Clicando en este enlace puedes acceder a una presentación donde se detalla un ejercicio resuelto paso a paso.

        Importante

        Una función f continua y derivable en un intervalo (a,b), alcanza sus máximos y mínimos relativos en los puntos del intervalo (a,b) en los que f '(x)=0. Además, si estudiamos la segunda derivada:

        · Máximo relativo: f '(x)=0 y f ''(x)<0

        · Mínimo relativo: f '(x)=0 y f ''(x)>0

          Puedes recordar como se calculan los máximos y mínimos pulsando en el siguiente enlace donde accederás a una presentación donde se detalla un ejercicio resuelto.

          Importante

          En una función dos veces derivable, podemos estudiar la curvatura de la siguiente forma:

          · Convexa (U): será convexa en los intervalos donde f ''(x) > 0

          · Cóncava (∩): será cóncava en los intervalos en los que f ''(x) < 0
           

          · Puntos de inflexión: son los puntos donde cambia la curvatura. Por tanto se cumple que f ''(x)=0

          También puedes acceder a un ejemplo de estudio paso a paso de la curvatura de una función. Basta pulsar en el siguiente enlace.

          Por último, para terminar el repaso, te dejamos la siguiente pdf sobre asíntotas, recordando su definición, tipos y algunos ejemplos.

           

          asíntotas
          Pdf alojado en 3con14. Licencia CC

           

           

           

          Ejercicio Resuelto

          Vamos a poner en práctica nuestros conocimientos interpretando la siguiente gráfica:

           

          Las siguientes cuestiones siguen el orden expuesto en el cuadro resumen anterior, a fin de que vayas recordando los principales atributos de las funciones.

          1. ¿A qué tipo de función corresponde la gráfica?

          2. ¿Cual es el dominio de la función?

          3. ¿Es discontinua en algún punto? ¿Qué tipo de discontinuidad presenta? 

          4. ¿Presenta algún tipo de simetría?

          5. ¿Y asintotas tiene?

          6. ¿La derivada primera se anula en su máximo relativo?  ¿Por qué?

          7. ¿Cual es el mínimo relativo de la función? 

          8. ¿Qué podemos afirmar sobre su monotonía?

          9. ¿Cual es su recorrido?

          Consejo: Intenta responderlas una a una y, posteriormente, comprueba si has acertado. Es conveniente que lo intentes antes de ver las respuestas. Es la mejor manera de aprender.