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5. Interés simple y compuesto

1. Depósitos bancarios

Un depósito a plazo fijo es un producto financiero ofrecido por instituciones bancarias y financieras que permite a los inversores depositar una suma de dinero durante un período de tiempo predeterminado, a cambio de una tasa de interés fija o variable. Este es un tipo de inversión considerado de bajo riesgo y, generalmente, ofrece un rendimiento más alto que las cuentas de ahorro convencionales.

Conceptos clave:

Intereses bancarios
Imagen generada con Firefly Adobe. Intereses bancarios. (CC BY-NC-SA)
  • Capital Inicial: El capital inicial, también conocido como "principal", es la cantidad de dinero original que se deposita en una cuenta de inversión en el banco. Este es el punto de partida sobre el cual se calculan los intereses y se evalúa el rendimiento de una operación financiera.
  • Interés: En el contexto de un depósito a plazo fijo, el interés es el dinero que el banco paga al titular de la cuenta por mantener su dinero depositado durante un tiempo específico.
  • Rédito: Es el tanto por ciento anual que paga el banco por depositar un dinero en él. El término "rédito" se usa a menudo de manera intercambiable con "Tasa de interés". 
  • Plazo o tiempo: Es el tiempo durante el cual el dinero estará depositado en la cuenta. Puede variar desde unos pocos meses hasta varios años.
  • Capitalización del Interés: Dependiendo del producto, el interés puede ser capitalizable (compuesto) o pagado al final del período (simple).
  • Frecuencia de capitalización: Es la periodicidad con la que los intereses se agregan al capital (cuando el interés es compuesto). Puede ser diario, semanal, quincenal, mensual, bimestral, trimestral, semestral o anual.

Por ejemplo, imaginemos que un banco ofrece un producto llamado "Depósito Mega Ahorro", que viene con las siguientes condiciones:

  • Capital inicial: 10000€
  • Rédito: 4% anual
  • Plazo: 2 años
  • Capitalización de interés: compuesto
  • Frecuencia de capitalización: Mensual

Con este depósito a plazo fijo, el cliente deposita 10000 euros por un período de 2 años. El banco pagará una tasa de interés (rédito) del 4% anual sobre el capital invertido.

Los intereses se capitalizarán mensualmente, es decir, cada mes los intereses generados se sumarán al capital inicial para generar más intereses el mes siguiente.

2. Interés simple

El interés simple es una forma de calcular el interés que se recibe sobre una cantidad principal de dinero durante un período de tiempo determinado. A diferencia del interés compuesto, el interés simple se calcula únicamente sobre la cantidad inicial, sin tener en cuenta los intereses que se hayan acumulado en períodos anteriores.

La fórmula para calcular el interés simple es:

Interés Simple = Principal · Tasa de Interés · Tiempo, o también    I = C · r · t

  • Principal es el capital inicial o la cantidad de dinero original.
    Tasa de Interés (rédito) es la tasa de interés en forma decimal.
    Tiempo es el período durante el cual se calcula el interés, generalmente expresado en años.

Ejemplo
Supongamos que inviertes 5000€ en un depósito a plazo fijo que ofrece una tasa de interés del 3% anual con interés simple, y decides mantener el dinero depositado durante 2 años.

Utilizando la fórmula de interés simple:

Interés Simple = 5000€ · 0.03 · 2 = 300€

Para saber el capital final, simplemente se suma el capital inicial con el interés acumulado:

Capital Final = Principal + Interés Simple = 5000€ + 300€ = 5300€
Por lo tanto, al final de los 2 años tendrías un total de 5300€ en tu depósito a plazo fijo con interés simple del 3% anual.

3. Completa: Interés simple




4. Resuelve. Problemas de Interés simple

Al hacer clic en el botón situado a la derecha del texto 'Haz clic aquí', se generará un problema de Interés simple. Cada vez que pulses en ese mismo botón, se mostrará un paso adicional de la solución. Resuelve el problema y verifica tu resultado. Practica todo lo que consideres necesario.

Autores: José Luis Abreu y otros. Interés simple. (CC BY-NC-SA)

5. Interés compuesto

El interés compuesto es un tipo de cálculo de intereses en el que los intereses generados por un capital se agregan al capital inicial para generar más intereses en el siguiente período.

Si un banco paga el r% anual (rédito), un capital inicial Ci durante un año se convierte en $Ci \cdot \left(1 + \frac{r}{100}\right)$. Fíjate que el índice de variación viene dado por la expresión: $\left(1 + \frac{r}{100}\right)$.

Si queremos hallar el capital acumulado al cabo de 2 años, debemos multiplicar de nuevo por el índice de variación: $Ci \cdot \left(1 + \frac{r}{100}\right) \cdot \left(1 + \frac{r}{100}\right)$.

Es decir, por cada año el capital se multiplica por $\left(1 + \frac{r}{100}\right)$, y al cabo de t años el capital final Cf se transformará en $Cf = Ci \cdot \left(1 + \frac{r}{100}\right)^t$.

Ejemplo 1. Supongamos que inviertes 1000€ en un depósito a plazo fijo con una tasa de interés anual del 5%. Esta tasa se aplica una vez al año; es decir, al concluir cada período anual, los intereses generados se suman al capital acumulado hasta ese instante. Mantienes el dinero en la cuenta durante 3 años (t=3).

Ahora podemos usar la fórmula del interés compuesto para calcular el capital final:

$Cf = 1000 \cdot \left(1 + \frac{5}{100}\right)^3 = 1157.63\, \text{€}$

Como puedes ver, gracias al interés compuesto, tu inversión inicial de 1000€ ha crecido a 1157.63€ en 3 años con una tasa de interés anual del 5%.

En general, si es el número de veces que se aplica el interés al año (número de veces que se capitaliza al año) es n, el cálculo del interés compuesto se realiza mediante la fórmula:

$Cf = Ci \cdot \left(1 + \frac{r}{n \cdot 100}\right)^{n \cdot t}$

donde Cf es el capital final, Ci es el capital inicial, r es la tasa de interés en porcentaje, n es el número de veces que se aplica el interés al año, y t es el tiempo en años.

Ejemplo 2. Supongamos que decides invertir 5000€ en una cuenta de ahorros que ofrece una tasa de interés anual del 4%. El interés se capitaliza cada 3 meses, es decir, 4 veces al año. Quieres saber cuánto tendrás en la cuenta después de 2 años.

Datos del Ejemplo:
Capital inicial (Ci): 5000€
Tasa de interés anual (r): 4% (en forma decimal sería 0.04)
Número de veces que el interés se capitaliza por año (n): 4 (cada 3 meses)
Tiempo (t): 2 años
La fórmula del interés compuesto en este caso es:

$Cf = Ci \cdot \left(1 + \frac{r}{n \cdot 100}\right)^{n \cdot t}$

Sustituyendo, obtenemos que : $Cf = 5000 \cdot \left(1 + \frac{0.04}{4}\right)^{4 \cdot 2}$ = 5414.28€

El capital final (Cf) después de 2 años sería aproximadamente 5414.28€. Como puedes ver, gracias al interés compuesto y a la capitalización trimestral, tu inversión inicial de 5000€ ha crecido a 5414.28€ en 2 años con una tasa de interés anual del 4%.

7. T.A.E. (Tasa Anual Equivalente)

Se llama T.A.E. (Tasa Anual Equivalente) de una inversión al tanto por ciento de crecimiento total del capital durante un año. Es una medida financiera que se utiliza para comparar el rendimiento anual de diferentes tipos de inversiones.

La TAE se calcula generalmente a partir de la tasa de interés nominal y el número de periodos de capitalización por año. La fórmula para calcular la TAE es:

$\text{TAE} = \left(1 + \frac{r}{n}\right)^{n \cdot 1} - 1$ (expresado en forma decimal)

Donde:

r es la tasa de interés nominal anual en forma decimal (rédito).
n es el número de veces que el interés se capitaliza por año.

En el caso de la TAE, estamos interesados en cómo el capital inicial cambia durante un año debido a la tasa de interés y la capitalización. 

Índice de variación = $\left(1 + \frac{r}{n}\right)^{n \cdot 1}$

Ejemplo. Si tienes una tasa de interés nominal del 5% con capitalización mensual, la TAE se calcularía como:

$\text{TAE} = \left(1 + \frac{0.05}{12}\right)^{12 \cdot 1} - 1$ = 0.05116

La Tasa Anual Equivalente (TAE) en este ejemplo sería aproximadamente 5.12%. Este porcentaje nos indica el rendimiento real que podríamos esperar de la inversión en un año, teniendo en cuenta la capitalización mensual del interés.

8. Resuelve. Problemas de Interés compuesto

Al hacer clic en el botón situado a la derecha del texto 'Haz clic aquí', se generará un problema de Interés compuesto. Cada vez que pulses en ese mismo botón, se mostrará un paso adicional de la solución. Resuelve el problema y verifica tu resultado. Practica todo lo que consideres necesario.

Autores: José Luis Abreu y otros.. Interés compuesto. (CC BY-NC-SA)

9. Problemas resueltos

Problema 1. Supongamos que decides invertir 10000€ en un fondo de inversión que ofrece una tasa de interés anual del 6%. El interés se capitaliza cada 3 meses, es decir, 4 veces al año. Quieres saber cuánto tendrás en el fondo después de 5 años.

Respuesta

Solución del problema 1:
Capital inicial (Ci): 10000€
Tasa de interés anual (r): 6% (en forma decimal sería 0.06)
Número de veces que el interés se capitaliza por año (n): 4 (cada 3 meses)
Tiempo (t): 5 años.

$Cf = 10000 \cdot \left(1 + \frac{0.06}{4}\right)^{4 \cdot 5}$

El capital final (Cf) después de 5 años sería aproximadamente 13468.55€

Problema 2. Supongamos que acabas de tener un hijo y decides empezar a ahorrar para su educación. Abres una cuenta de ahorro con un depósito inicial de 3000€. La cuenta ofrece una tasa de interés anual del 4%, y el interés se capitaliza mensualmente. Quieres saber cuánto tendrás en la cuenta después de 18 años.

Respuesta

Solución del problema 2:
Capital inicial (Ci): 3000€
Tasa de interés anual (r): 4% (en forma decimal sería 0.04)
Número de veces que el interés se capitaliza por año (n): 12 (mensual)
Tiempo (t): 18 años.

$Cf = 3000 \cdot \left(1 + \frac{0.04}{12}\right)^{12 \cdot 18}$

El capital final (Cf) después de 18 años sería aproximadamente 6155.92€

Problema 3. Supongamos que decides invertir 15000€ en bonos del gobierno que ofrecen una tasa de interés anual del 2.5%. El interés se capitaliza cada 6 meses, es decir, 2 veces al año. Quieres saber cuánto tendrás después de 7 años.

Respuesta

Solución del problema 3:
Capital inicial (Ci): 15000€
Tasa de interés anual (r): 2.5% (en forma decimal sería 0.025)
Número de veces que el interés se capitaliza por año (n): 2 (semestral)
Tiempo (t): 7 años.

$Cf = 15000 \cdot \left(1 + \frac{0.025}{2}\right)^{2 \cdot 7}$

El capital final (Cf) después de 7 años sería aproximadamente 17849.32€

Problema 4. Supongamos que has invertido 8000€ en un certificado de depósito a interés compuesto que ofrece una tasa de interés anual del 5%. Estás interesado en saber cuánto tiempo se necesita para que tu inversión se duplique.

Respuesta

Solución del problema 4:
Capital inicial (Ci): 8000€
Capital final (Cf): 16000€ (el doble del capital inicial)
Tasa de interés anual (r): 5% (en forma decimal sería 0.05)
Número de veces que el interés se capitaliza por año (n): 1 (anual)

La fórmula del interés compuesto es:

$Cf = Ci \cdot \left(1 + \frac{r}{n }\right)^{n \cdot t}$

En este caso, queremos encontrar el tiempo (t), por lo que la fórmula se reorganiza de la siguiente manera (despejando t):

$t = \frac{\log\left(\frac{Cf}{Ci}\right)}{n \cdot \log\left(1 + \frac{r}{n}\right)}$

Sustituyendo los datos, obtenemos:   $t = \frac{\log\left(\frac{16000}{8000}\right)}{1 \cdot \log\left(1 + \frac{0.05}{1}\right)}$

Esto significa que tendrías que mantener tu inversión durante aproximadamente 14.21 años para que se duplique con una tasa de interés anual del 5%.

Otra forma de calcular el tiempo de forma aproximada es mediante la Regla del 72 que viene dada por la fórmula: t = $\frac{72}{r}$, con r expresado en porcentaje. 

Sustituyendo obtenemos: t = 72/5 = 14.4 años aproximadamente. 

10. Interpretación de gráficas de interés simple y compuesto

Pregunta

Completa los campos con la información especificada en los problemas que se plantean a continuación para generar las gráficas del capital acumulado (eje OY) en función del tiempo (eje OX). Estas gráficas representarán un capital inicial invertido tanto a interés simple como a interés compuesto.

Al posicionar el cursor sobre los puntos destacados de la gráfica, se mostrarán los valores correspondientes.

Para introducir nuevos valores haz clic sobre el botón "Limpiar".

A continuación, selecciona la respuesta correcta para cada una de las preguntas.

Aplicación de elaboración propia. Gráficas de interés simple y compuesto. (CC BY-NC-SA)

Problema 1. Supongamos que decides invertir 10000€ en un fondo de inversión que ofrece una tasa de interés anual del 8%. El interés se capitaliza cada 3 meses (interés compuesto), es decir, 4 veces al año. ¿Cuánto tendrás en el fondo después de 5 años?

Sugerencia

Posiciona el cursor sobre los puntos destacados de la gráfica.

Respuestas

14859.47€

14000€

14727.86€

Retroalimentación

Pregunta

Problema 2. Si hubieses invertido el mismo capital en un depósito con un interés simple del 8% anual durante el mismo periodo, ¿Cuál sería tu capital final al cabo de 4 años?

Sugerencia

Posiciona el cursor sobre los puntos destacados de la gráfica.

Respuestas

13000€

13200€

13600€

Retroalimentación

Pregunta

Problema 3. Supongamos que tienes 20000€ que decides guardar para tu jubilación en una cuenta que ofrece una tasa de interés anual del 7%. El interés se capitaliza cada 6 meses (interés compuesto). ¿Cuál sería tu capital final al cabo de 35 años?

Sugerencia

Posiciona el cursor sobre los puntos destacados de la gráfica.

Respuestas

69000€

195762.13€

222256.51€

Retroalimentación

Pregunta

Pregunta 4. En el supuesto anterior, ¿Cuánto tiempo se necesita para que tu inversión inicial se duplique?

Sugerencia

Posiciona el cursor sobre los puntos destacados de la gráfica.

Respuestas

6 años.

11 años.

8 años.

Retroalimentación

Pregunta

Problema 5. Si, en lugar de depositar los 20000€ en una cuenta que ofrece una tasa de interés anual del 7% con interés compuesto, los depositaras en una cuenta que ofrece la misma tasa de interés anual pero con interés simple, ¿Cuál sería tu capital final después de 35 años?

Respuestas

98200€

67600€

69000€

Retroalimentación

11. Regla del 72

La Regla del 72 emplea la fórmula t = $\frac{72}{r}$ para estimar el tiempo necesario para que el capital se duplique en una inversión con interés compuesto.

Esta fórmula nos ofrece una aproximación al valor exacto del tiempo, que es calculado mediante la expresión: $t = \frac{\log(2)}{1 \cdot \log\left(1 + \frac{r}{1}\right)}$

La escena siguiente exhibe las gráficas de ambas expresiones. En ella, el eje de abscisas (OX) representa la tasa de interés anual r, mientras que el eje de ordenadas (OY) indica el tiempo en años.

La de color azul representa la gráfica de función "g:"  t = $\frac{a}{r}$  con a = 72 , que corresponde a la Regla del 72.

La de color rojo representa la gráfica de función "f:" del valor exacto $t = \frac{\log(2)}{1 \cdot \log\left(1 + \frac{r}{1}\right)}$

La escena también muestra los valores de f y g para cada tasa de interés r, la cual puede ser ajustada mediante el deslizador.

https://www.geogebra.org/m/rytkuc9t (Ventana nueva)

Antonio%20Ruiz,https%3A//ggbm.at/48702883,Regla%20del%2072,1,Autor%EDa

Observa que para valores de r inferiores a 0.12 (o 12%), la Regla del 72 funciona con gran precisión, ya que los valores obtenidos son muy similares.

  1. ¿Qué sucede, sin embargo, cuando r supera el valor 0.3 (o 30%)?
  2. Ajusta el valor de r a 0.35 utilizando el deslizador correspondiente. Posteriormente, manipula el deslizador del parámetro a hasta que la diferencia entre f(0.35) y g(0.35) sea menor a 0.1. ¿Cuál es el valor de a que permite alcanzar este resultado?

Observa que podríamos definir una 'Regla del número "a" para situaciones en las que el valor de r se aproxime al 35%, ya que esto incrementaría la precisión de la estimación.

12. Autoevaluación. Comprueba lo que sabes

Pregunta

Problema 1. Supongamos que has decidido ahorrar para unas vacaciones de ensueño y colocas 4000€ en una cuenta de ahorro que ofrece un 3% de interés anual con interés simple. ¿Cuánto dinero tendrás en la cuenta después de 2 años?

Respuestas

4500€

4240€

4200€

Retroalimentación

Pregunta

Problema 2. Imagina que inviertes 6000€ en acciones de una empresa que promete un rendimiento anual del 7%. El interés se capitaliza anualmente. ¿Cuánto dinero tendrás después de 5 años?

Respuestas

8692.31€

8415.31€

8914.31€

Retroalimentación

Pregunta

Problema 3. Ana invirtió 10000€ en bonos del tesoro que pagan un interés simple anual de 5%. Si el plazo de los bonos es de 3 años, ¿cuál será el capital de Ana al final del período de inversión?

Respuestas

11000€

12000€

11500€

Retroalimentación

Pregunta

Problema 4. Tienes 40000€ que decides invertir para tu jubilación en una cuenta que ofrece una tasa de interés anual del 4%. El interés se capitaliza semestralmente. ¿Cuánto dinero tendrás en la cuenta después de 20 años?

Respuestas

84241.59€

88321.59€

89122.59€

Retroalimentación

Pregunta

Problema 5. Has invertido 20000€ en un fondo mutuo que ofrece una tasa de interés anual del 6%. El interés se capitaliza anualmente. ¿Cuánto tiempo se necesita para que tu inversión se duplique?

Respuestas

11.9 años.

10 años.

12.8 años.

Retroalimentación

Pregunta

Problema 6. Tienes una cuenta de ahorro que ofrece una tasa de interés nominal anual del 4%, con capitalización trimestral. ¿Cuál sería la Tasa Anual Equivalente (TAE)?

Respuestas

4.12%

4.06%

4.21%

Retroalimentación

Pregunta

Problema 7. Supongamos que estás considerando invertir en un fondo mutuo que ofrece una tasa de interés nominal anual del 6% con capitalización mensual. ¿Cuál sería la Tasa Anual Equivalente (TAE)?

Respuestas

6.17%

6.08%

6.21%

Retroalimentación

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