Distribución Normal

La distribución normal se caracteriza por su forma de campana, simétrica alrededor de un punto central, que es la media ($μ$) de la distribución. Esta simetría implica que la mitad de los valores son mayores que la media y la otra mitad son menores. La distribución normal se describe completamente mediante dos parámetros: la media ($μ$) y la desviación típica ($σ$). Estos parámetros son cruciales porque definen completamente la forma y las características de la distribución:

La media ($\mu$) es el valor central alrededor del cual se distribuyen los datos. En la gráfica de la distribución, corresponde al pico de la campana. Indica la ubicación central de la distribución.

La desviación típica ($\sigma$) mide la dispersión o variabilidad de los datos respecto a la media. Una desviación típica pequeña indica que los datos están agrupados cerca de la media, resultando en una curva más estrecha y alta. Por otro lado, una desviación estándar grande muestra que los datos están más dispersos, lo que produce una curva más ancha y baja.

La notación \(N(\mu,\sigma)\) se utiliza para denotar una distribución normal con una media específica ($\mu$) y una desviación típica ($\sigma$).

La función de densidad de probabilidad (FDP) de la distribución normal es una expresión matemática que describe la probabilidad de que la variable aleatoria tome un valor dentro de un intervalo específico. Esta probabilidad es equivalente al área bajo la curva de la FDP correspondiente a ese intervalo. Es importante recordar que, en el contexto de las distribuciones de probabilidad continuas, la probabilidad de que la variable aleatoria tome un valor puntual exacto es siempre 0.

La FDP de la distribución normal es:

\[ f(x|\mu,\sigma) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \cdot e^{-{\LARGE{\frac{1}{2}}}\left({\LARGE{\frac{x-\mu}{\sigma}}}\right)^2} \]

Donde:

• \(x\) es la variable aleatoria.
• \(\mu\) es la media de la distribución.
• \(\sigma\) es la desviación típica de la distribución.
• \(e\) es la base del logaritmo natural, aproximadamente igual a 2.71828.
• \(\pi\) es Pi, aproximadamente igual a 3.14159.

La curva de la distribución normal tiene algunas propiedades notables:

• Es simétrica alrededor de su media ($\mu$).
• Tiene un único pico, lo que significa que es unimodal.
• Los puntos de inflexión de la curva, donde cambia la concavidad, ocurren en \(\mu-\sigma\) y \(\mu+\sigma\).
• El área bajo la curva de la distribución normal es igual a 1, lo que refleja el hecho de que la probabilidad total de todas las posibles ocurrencias es 1.

Ejemplos.

• Alturas de adultos. En una población, las alturas de los adultos tienden a seguir una distribución normal. Supongamos que en una ciudad, la altura media de los hombres adultos es de 175 cm con una desviación típica de 8 cm, la distribución normal se expresa como: $N(175,8)$
• Puntuaciones en exámenes. Las puntuaciones de un examen estandarizado a menudo se distribuyen normalmente. Imaginemos que la puntuación media en un examen específico es de 500 puntos con una desviación típica de 100 puntos, la distribución normal se representa por: $N(500,100)$
• Presión arterial. La presión arterial sistólica en adultos también sigue una distribución normal. Consideremos que la presión arterial sistólica promedio en un grupo de adultos es de 120 mmHg con una desviación típica de 15 mmHg, la distribución normal correspondiente es: $N(120,15)$

Distribución Normal estándar o tipificada

La distribución $N(0,1)$ es conocida comúnmente como la distribución normal estándar, tipificada o reducida. Su simplicidad radica en que tiene una media ($μ$) de 0 y una desviación estándar ($σ$) de 1. Estos valores simplifican significativamente los cálculos relacionados con la distribución normal, ya que cualquier distribución normal puede ser convertida a una distribución normal estándar mediante un proceso llamado tipificación.

Influencia de los parámetros en la gráfica

La forma de la gráfica de la distribución normal se ve afectada de manera significativa al variar los valores de \(\mu\) (media) y \(\sigma\) (desviación estándar). Mueve los deslizadores en la escena de abajo y comprueba el efecto que produce en la gráfica de la función de densidad.

Aquí se explica cómo cada uno de estos parámetros influye en la gráfica:

Variando \(\mu\) (Media)

• \(\mu\) determina el centro de la curva de la distribución normal. Al variar \(\mu\), desplazas la gráfica de la distribución normal a lo largo del eje de abscisas (eje horizontal).
• Un aumento en \(\mu\) mueve la curva hacia la derecha, mientras que una disminución la mueve hacia la izquierda.
• La forma de la curva no cambia al ajustar \(\mu\); solo su posición en el eje horizontal.

Variando \(\sigma\) (Desviación típica)

• \(\sigma\) afecta la dispersión de la curva alrededor de la media. No cambia la ubicación de la curva, sino su "ancho".
• Un valor pequeño de \(\sigma\) produce una curva más "estrecha" y "alta", indicando que los datos están más concentrados alrededor de la media.
• Un valor grande de \(\sigma\) resulta en una curva más "ancha" y "plana", mostrando que los datos están más dispersos alrededor de la media.
• Incrementar \(\sigma\) disminuye la altura máxima de la curva, ya que la probabilidad se distribuye sobre un rango más amplio de valores.

Efectos Combinados

• Al ajustar tanto \(\mu\) como \(\sigma\), puedes mover la distribución normal a lo largo del eje de abscisas y, al mismo tiempo, alterar su dispersión.
• Esto permite que la distribución normal represente una amplia variedad de situaciones en las que los datos pueden estar centrados en diferentes valores y tener diferentes grados de variabilidad.

En resumen, variar \(\mu\) y \(\sigma\) en una distribución normal permite modelar datos que pueden tener diferentes medias (indicando el valor "central" alrededor del cual se agrupan los datos) y diferentes niveles de variabilidad o dispersión (indicando cuán "esparcidos" están los datos alrededor de la media).

La distribución Normal $N(0,1)$ tiene una media ($μ$) de 0 y una desviación típica ($σ$) de 1. Es la forma más simplificada de la distribución normal y sirve como base para entender y aplicar conceptos de la teoría de probabilidad y estadística a distribuciones normales más complejas.

La función de densidad de probabilidad (FDP) de la distribución normal estándar es:

$f(x) = {\large{\frac{1}{\sqrt{2\pi}}}} \cdot e^{\Large{{-\frac{x^2}{2}}}}$

En la distribución normal tipificada $N(0,1)$, donde la variable aleatoria se denota por $Z$, el cálculo de probabilidades equivale a encontrar el área bajo la curva de la función de densidad de probabilidad (FDP) entre dos puntos dados. Esta área representa la probabilidad de que $Z$ caiga dentro de un intervalo específico. La notación y el concepto se pueden entender mejor a través de varios escenarios:

1.- Probabilidad entre \(a\) y \(b\) (Imagen 1)
Para calcular la probabilidad de que \(Z\) esté entre dos valores \(a\) y \(b\) (donde \(a < b\)), usamos la notación:
\(P(a < Z < b)\). Esta probabilidad es igual al área bajo la curva de la FDP de \(Z\) entre \(a\) y \(b\). Gráficamente, esto se representa como el área encerrada por la curva de la FDP, el eje \(x\) (horizontal), y las líneas verticales \(x=a\) y \(x=b\).

Imagen 1

2.- Probabilidad menor que \(a\) (Imagen 2)
Para encontrar la probabilidad de que \(Z\) sea menor que un valor específico \(a\), utilizamos:
\(P(Z < a)\). Esta es el área bajo la curva de la FDP de \(Z\) desde \(-\infty\) hasta \(a\), lo que significa que estamos buscando la probabilidad acumulada desde el extremo izquierdo de la distribución hasta \(a\).

Imagen 2

3.- Probabilidad mayor que \(a\) (Imagen 3)
De manera similar, para calcular la probabilidad de que \(Z\) sea mayor que \(a\), usamos:
\(P(Z > a)\). Esto se traduce en el área bajo la curva de la FDP desde \(a\) hasta \(+\infty\), o lo que es lo mismo, todo lo que está a la derecha de \(a\) en la distribución.

Imagen 3

4.- Probabilidad de que \(Z\) sea exactamente \(a\)
En una distribución continua como la normal, la probabilidad de que \(Z\) tome un valor exacto \(a\) es siempre 0, porque el área bajo la curva en un solo punto es 0. Es decir: \(P(Z = a) = 0\)

Tabla de distribución Normal tipificada, o tabla Z.

Esta tabla se utiliza para determinar el área bajo la curva de una distribución normal tipificada $N(0,1)$, que es simétrica alrededor de su media, que es 0.

La tabla muestra el área acumulada (probabilidad acumulada) desde el extremo izquierdo de la distribución hasta un valor Z dado y mayor de cero. 

Para calcular la probabilidad de que P[\( Z < a \)] para un valor específico de \( a \) usando esta tabla, debes seguir estos pasos, considerando que \( a \) tiene dos cifras decimales:

1. Identifica la parte entera y la primera cifra decimal de \( a \); esta será tu valor de fila en la tabla. Por ejemplo, para \( a = 1.23 \), busca la fila que corresponda a 1.2.
2. Luego, identifica la segunda cifra decimal de \( a \); esta será tu valor de columna. Para \( a = 1.23 \), buscarías la columna que corresponde a .03.
3. El valor donde se cruzan la fila y la columna te da el área bajo la curva de la distribución normal estándar para el valor de \( a \). Es decir, te da la probabilidad acumulada \( P(Z < a) \). Para \( a = 1.23 \), encuentras el cruce entre la fila 1.2 y la columna 0.03, en este caso es 0.8907.

Para valores negativos de \( a \), usa la simetría de la distribución normal. La probabilidad de que \( Z < a \) es \( P(Z < -|a|) = 1 - P(Z < |a|) \), donde \( |a| \) es el valor absoluto de \( a \). Así, para \( a \) negativo, primero encuentras la probabilidad para \( |a| \) y luego restas ese valor de 1.

Para calcular la probabilidad  P[\(a < Z < b\)] usando la tabla, sigue los siguientes pasos:

1. Primero, se encuentra la probabilidad de \(Z < b\): Localiza el valor de \(b\) en la tabla Z, lo cual te dará la probabilidad acumulada de \(P(Z < b)\). Esto se logra identificando la parte entera y la primera cifra decimal de \(b\) en la columna de la izquierda y la segunda cifra decimal en la fila superior de la tabla. El cruce de estos valores te indica \(P(Z < b)\).
2. Luego, se encuentra la probabilidad de \(Z < a\): De forma similar, encuentra el valor de \(a\) en la tabla Z para obtener \(P(Z < a)\). Si \(a\) es un valor negativo, recuerda que puedes usar la simetría de la distribución para encontrar el valor correspondiente de \(P(Z < a)\) como \(1 - P(Z < |a|)\).
3. Finalmente, se calcula la probabilidad  P[\(a < Z < b\)]: Resta la probabilidad de \(Z < a\) de la probabilidad de \(Z < b\) para obtener la probabilidad de que \(Z\) esté entre \(a\) y \(b\). Matemáticamente, esto se representa como:   \(P(a < Z < b) = P(Z < b) - P(Z < a)\). Esto se debe a que al restar el área acumulada hasta $a$ del área acumulada hasta $b$, se cancelan todas las áreas a la izquierda de $a$, quedando únicamente la porción de interés: el área bajo la curva entre $a$ y $b$.

Por ejemplo, si quieres calcular \(P(0.5 < Z < 1.5)\), primero encontrarías \(P(Z < 1.5) = 0.9332\) y \(P(Z < 0.5) = 0.6915\) usando la tabla Z, y luego restarías \(P(Z < 0.5)\) de \(P(Z < 1.5)\) para obtener \(P(0.5 < Z < 1.5) = 0.2417\).

Este método aprovecha el principio de que la probabilidad de que \(Z\) caiga en un intervalo específico se puede encontrar restando la probabilidad acumulada hasta el límite inferior del intervalo de la probabilidad acumulada hasta el límite superior.

Para calcular probabilidades en una distribución normal general \(N(\mu, \sigma)\) usando la tabla de la distribución normal estándar \(N(0,1)\), primero debes tipificar la variable aleatoria. Esto implica convertir la variable aleatoria \(X\), que sigue una distribución \(N(\mu, \sigma)\), a una variable \(Z\) que sigue una distribución normal estándar \(N(0,1)\). El proceso de tipificación se realiza mediante la fórmula:

\[Z = \frac{X - \mu}{\sigma}\]

Donde:

• \(X\) es el valor de la variable aleatoria en la distribución normal \(N(\mu, \sigma)\).
• \(\mu\) es la media de la distribución normal \(N(\mu, \sigma)\).
• \(\sigma\) es la desviación estándar de la distribución normal \(N(\mu, \sigma)\).
• \(Z\) es el valor tipificado que sigue una distribución \(N(0,1)\).

Una vez tipificada la variable, puedes usar la tabla \(Z\) (tabla de distribución normal estándar) para encontrar las probabilidades deseadas. La tabla te permite calcular fácilmente la probabilidad de que \(Z\) sea menor que un cierto valor, mayor que un cierto valor, o entre dos valores.

Ejemplo de cálculo

Si quieres calcular la probabilidad de que \(X\) sea menor que un valor \(a\) en una distribución \(N(\mu, \sigma)\), primero calculas el valor correspondiente de \(Z\) usando:

\[Z_a = {\large{\frac{a - \mu}{\sigma}}}\]

Luego, buscas \(Z_a\) en la tabla \(Z\) para encontrar \(P(Z < Z_a)\), que es igual a \(P(X < a)\).

Cálculo de Probabilidades entre dos valores

Para calcular \(P(a < X < b)\) en \(N(\mu, \sigma)\), tipificas ambos valores \(a\) y \(b\) para obtener \(Z_a\) y \(Z_b\) respectivamente, y luego utilizas la tabla \(Z\) para encontrar \(P(Z < Z_b) - P(Z < Z_a)\).

Ejemplo. Para calcular la probabilidad \(P(90 < X < 110)\) en una distribución normal \(N(100, 15)\), con media \(\mu = 100\) y desviación estándar \(\sigma = 15\), seguimos el procedimiento:

1. Primero, tipificamos los valores de \(X\) a valores de \(Z\) usando la fórmula \(Z = {\Large{\frac{X - \mu}{\sigma}}}\) para transformar la distribución \(N(100, 15)\) a una distribución normal estándar \(N(0, 1)\).
   
   
2. Para \(X = 90\), calculamos \(Z_{90} = {\Large{\frac{90 - 100}{15}}} = -{\Large{\frac{10}{15}}} = -{\Large{\frac{2}{3}}} = -0.67\).
   
   
3. Para \(X = 110\), calculamos \(Z_{110} = {\Large{\frac{110 - 100}{15}}} = {\Large{\frac{10}{15}}} = {\Large{\frac{2}{3}}} = 0.67\).
   
   
4. Luego, utilizamos la tabla de la distribución normal estándar para encontrar \(P(Z < Z_{90}) = P(Z < -0.67)\) y \(P(Z < Z_{110}) = 0.67)\).
   
   

La probabilidad deseada es \(P(90 < X < 110) = P(Z < Z_{110}) - P(Z < Z_{90}) = 0.7486 - 0.2514 = 0.4972\).

La tabla de la distribución normal tipificada N(0, 1) es una herramienta fundamental en estadística, comúnmente usada para encontrar la probabilidad de que una variable aleatoria caiga dentro de un rango específico. Sin embargo, a veces nos encontramos con la situación inversa: tenemos una probabilidad y necesitamos determinar el correspondiente valor de Z. Este proceso inverso, conocido como "búsqueda inversa en la tabla Z", permite calcular el número de desviaciones típicas que un valor está por encima o por debajo de la media en una distribución normal estándar. En esta sección, exploraremos cómo realizar esta búsqueda inversa, permitiendo una comprensión más profunda y una aplicación más amplia de la distribución normal en el análisis estadístico.

Para usar la tabla de distribución normal estándar al revés, donde tienes una probabilidad y deseas encontrar el valor correspondiente de $Z$, puedes seguir estos pasos:

• Localiza la Probabilidad en la Tabla: Busca la probabilidad dada en el cuerpo central de la tabla de distribución normal (fíjate que . Esta probabilidad representa el área bajo la curva de la distribución normal estándar desde el extremo izquierdo hasta el valor $Z$ que buscas. Es muy conveniente tener en cuenta que las probabilidades en la tabla de la distribución normal estándar $N(0,1)$ se encuentran en orden creciente a medida que uno se mueve de izquierda a derecha y de arriba hacia abajo. Este ordenamiento es coherente con el hecho de que el área bajo la curva de la distribución normal estándar aumenta a medida que nos movemos hacia la derecha del eje de simetría, que es la media ($μ=0$)
• Encuentra la correspondencia más cercana: Debido a que la tabla contiene valores discretos y la probabilidad que tienes no está listada exactamente, busca el valor en la tabla que más se aproxime a la probabilidad dada.
• Determina el valor de $Z$: Una vez que encuentres el valor más cercano en la tabla, determina el valor de $Z$ asociado observando los valores de las filas y columnas que corresponden a ese valor de probabilidad.
  • La fila izquierda de la tabla muestra el primer decimal de $Z$ (por ejemplo, 1.2).
  • La fila superior de la tabla muestra el segundo decimal de $Z$ (por ejemplo, 0.05).
  • Combinando estos dos, obtendrás $Z=1.25$ si la fila es 1.2 y la columna es 0.05.
• Considera el Signo de Z: Si la probabilidad dada corresponde al área bajo la curva a la derecha del valor medio (más del 50%), entonces el valor de $Z$ será positivo. Por ejemplo, si tienes una probabilidad de 0.95, que está a la derecha del promedio, buscarías directamente el valor positivo de $Z$ correspondiente a esta área acumulada para encontrar $Z$.
• Usar la Simetría para valores negativos: Si la probabilidad que tienes es menos del 50%, entonces estás buscando un valor negativo de $Z$. Por la simetría de la distribución normal estándar, puedes buscar la probabilidad directamente en la tabla para encontrar el valor negativo de $Z$, ya que los valores de la tabla están asociados a áreas a la izquierda del promedio. Por ejemplo, si la probabilidad es 0.3, buscarías 0.7 en la tabla (ya que 1 - 0.3 = 0.7), hallarías el valor correspondiente de $Z$ positivo, y luego considerarías su negativo como el valor buscado.

Ejemplos.

1. Supongamos que deseas encontrar el valor de \( Z \) que corresponde al percentil 90, o lo que es lo mismo, \( P(Z < z) = 0.90 \).
   Revisas la tabla \( N(0,1) \) y encuentras que el valor más cercano a 0.90 es 0.8997.
   Localizas este valor en la tabla y observas que se encuentra en la fila de \( Z = 1.2 \) y la columna de \( 0.08 \).
   Por lo tanto, el valor de \( Z \) para el percentil 90 es \( Z = 1.28 \).
2. Imagina que buscas la probabilidad que deje un 2.5% en el extremo derecho, o lo que es lo mismo, \( P(Z < z) = 0.975 \). Encuentras en la tabla que el valor de \( Z \) correspondiente a 0.975 es aproximadamente 1.96.

El siguiente video se centra en enseñar cómo utilizar la tabla de distribución normal N(0,1) a través de ejercicios prácticos. También se explica cómo encontrar el valor $z$ que deja un porcentaje específico de la población por debajo de dicho valor, utilizando la tabla de manera inversa a lo habitual.