MG1 - Situación de aprendizaje 3.5: Estadística y azar: Inferencia en el impacto social de la Inteligencia Artificial
3. Intervalos característicos
1. Uso inverso de la Tabla N(0;1). Determinación de valores para probabilidades específicas
Como vimos en la situación de aprendizaje anterior, existen muchas ocasiones en las que nos interesa saber cuál es el valor de la distribución normal que deja a su izquierda o derecha una probabilidad determinada. Pensemos, por ejemplo, en determinar el umbral de presión arterial que clasifica a un paciente como hipertenso, o en encontrar los valores de puntuación en un test estandarizado que ubican a un estudiante en el percentil 90.
Se trata de usar la tabla de distribución normal estándar al revés, donde tienes una probabilidad y deseas encontrar el valor correspondiente de $𝑍$.
Para usar la tabla de distribución normal estándar al revés, donde tienes una probabilidad y deseas encontrar el valor correspondiente de $𝑍$, puedes seguir estos pasos:
Localiza la Probabilidad en la Tabla. Busca la probabilidad dada en la tabla de distribución normal. Recuerda dos cosas:
En la tabla vienen probabilidades para Z desde menos infinito hasta un valor concreto de Z positivo, osea $P(Z<a)$.
Solo se listan valores de probabilidad mayores de $0.5$, el resto se sacan por simetría.
Encuentra la correspondencia más cercana. Debido a que la tabla contiene valores discretos y la probabilidad que tienes no está listada exactamente, busca el valor en la tabla que más se aproxime a la probabilidad dada.
Determina el valor de Z. Una vez que encuentres el valor más cercano en la tabla, determina el valor de Z asociado observando los valores de las filas y columnas que corresponden a ese valor de probabilidad.
Imagen de elaboración propia. Uso inverso de la tabla N(0,1)(CC BY-NC-SA)
Para utilizar la Calculadora inversa de la Normal, sigue estos sencillos pasos:
Introduce una Probabilidad. En el campo de entrada etiquetado como "Introduce una probabilidad (0-1)", ingresa un valor de probabilidad entre 0 y 1. Este valor representa la probabilidad acumulada que deseas encontrar en la distribución normal tipificada. Ejemplo: Si deseas encontrar el valor de "a" que corresponde al 50% (0.5) de la probabilidad acumulada en la distribución, introduce 0.5.
Calcular el valor de "a". Una vez que hayas ingresado un valor válido, haz clic en el botón "Calcular". La aplicación calculará automáticamente el valor de "a", que es el punto en la distribución normal estándar hasta donde se acumula la probabilidad especificada. Verás el resultado mostrado en el texto "Valor de 'a':" seguido del valor calculado.
Revisa el gráfico. Junto con el valor calculado, la aplicación genera un gráfico de la distribución normal estándar. Este gráfico mostrará la curva de densidad de probabilidad de toda la distribución. Un área sombreada que representa la probabilidad acumulada hasta el punto calculado de "a".
En una prueba escrita no vas a poder usar esta calculadora que te presentamos aquí, porque no dispondrás del uso de un ordenador ni podrás acceder a esta situación de aprendizaje, sin embargo las recientes calculadoras traen ya distribuciones de probabilidad y podrás comprobar que el resultado que has obtenido es el correcto. Ya introducimos estos videos en la situación de aprendizaje anterior pero te lo recordamos también aquí por dos motivos importantes, darte confianza para que puedas comprobar que tus resultados son los correctos e insistir en la idea de que en una prueba escrita debes justificar todos los cálculos, es decir que cuando calculas algo directamente con la calculadora, ese cálculo esté plenamente justificado. Aquí tienes los videos de como usar la normal, la normal inversa en la calculadora y el resumen de los dos tipos de calculadoras más comunes que disponen de esta herramienta:
A continuación, te planteamos el reto de calcular los extremos de un intervalo en la distribución normal estándar y diseñar un procedimiento general para obtener intervalos a partir de una probabilidad dada.
Sigue las instrucciones y razona tus respuestas cuidadosamente.
Parte 1.
Calcula los extremos de un intervalo centrado en \( x = 0 \) que encierra un área igual a 0.75 por debajo de la función de densidad de la distribución normal estándar \( N(0 \text{ ; } 1) \).
Instrucciones:
Razona cómo encontrar los valores \( k \) y \( -k \) tales que el área bajo la curva entre estos dos puntos sea igual a 0.75.
Considera que la distribución normal estándar es simétrica respecto a 0.
Utiliza la tabla de la distribución normal estándar o la calculadora.
Ayuda
Ten en cuenta:
La distribución normal estándar es simétrica respecto a 0, por lo que el intervalo deseado tiene la forma \([-k \text{ ; } k]\).
Para encontrar \( k \), necesitas que el área acumulada hasta \( k \) sea \( 0.125 + 0.75 = 0.875 \). Busca este valor en una tabla de la normal estándar.
El valor de \( k \) es aproximadamente 1.15.
Los extremos del intervalo centrado en \( x = 0 \) que encierran un área igual a 0.75 bajo la curva de densidad de la distribución normal estándar son aproximadamente \( -1.15 \) y \( 1.15 \), es decir, el intervalo $[-1.15 \text{ ; } 1.15]$.
Diseña un procedimiento general que te permita obtener dicho intervalo a partir de una probabilidad \( 1 - \alpha \), que representa el área por debajo de la curva.
Instrucciones:
Desarrolla un método para encontrar los extremos del intervalo centrado en \( x = 0 \) para cualquier área \( 1 - \alpha \) bajo la curva de la distribución normal estándar.
Explica claramente los pasos que tomas y la lógica detrás de cada paso.
Ayuda
Para un área \( 1 - \alpha \) centrada en 0, necesitas encontrar los valores críticos \( -k \) y \( k \) tales que \( P(-k \leq Z \leq k) = 1 - \alpha \).
La probabilidad acumulada hasta \( k \) será \( (1 - \alpha)+{\Large{\frac{\alpha}{2}}} \), es decir, $P(Z < k) = (1 - \alpha)+{\Large{\frac{\alpha}{2}}} = 1 - {\Large{\frac{\alpha}{2}}}$
Usa la tabla de la distribución normal estándar para encontrar \( k \) correspondiente a esta probabilidad acumulada $1 - {\Large{\frac{\alpha}{2}}}$.
5. Intervalos característicos
Un intervalo característico correspondiente a una probabilidad $p = 1 - \alpha$ en una distribución estándar N(0 \text{ ; } 1), es un intervalo centrado en el origen de coordenadas $[-k \text{ ; } k]$ tal que la probabilidad de que la variable aleatoria se encuentre en dicho intervalo es $p$.
$P(-k < z < k) = p = 1 - \alpha$
En otras palabras, el intervalo $[-k \text{ ; } k]$ encierra un área \(1 - \alpha\) bajo la curva de la distribución normal estándar $N(0 \text{ ; } 1)$. Al valor \(k\) se le llama valor crítico correspondiente a $p$.
Imagen de elaboración propia. Intervalo característico.(CC BY-NC-SA)
Como has visto en tu primer reto, para encontrar los valores críticos \( -k \) y \( k \) tales que \( P(-k \leq Z \leq k) = 1 - \alpha \) basta con encontrar \( k \) correspondiente a la probabilidad acumulada $1 - {\Large{\frac{\alpha}{2}}}$.
Valores críticos de uso frecuente
$1 - \alpha$
${\Large{\frac{\alpha}{2}}}$
$k$
0.90
0.05
1.645
0.95
0.025
1.96
0.99
0.005
2.575
6. Calculadora Intervalos Característicos
Esta aplicación interactiva está diseñada para ayudarte a comprender y calcular los valores críticos en una distribución normal estándar $N(0 \text{ ; } 1)$ correspondientes a una probabilidad dada.
Con esta herramienta puedes:
Calcular el valor de Z (valor crítico) que corresponde a una probabilidad dada $p$.
Visualizar gráficamente cómo se representa esa probabilidad en la distribución normal estándar.
Instrucciones de Uso
Introducir la probabilidad: Verás un campo de entrada donde puedes escribir una probabilidad, que debe ser un valor entre 0 y 1 (excluyendo el 0 y el 1). Esta probabilidad representa el área bajo la curva de la distribución normal estándar que deseas calcular.
Calcular y mostrar Z: Una vez hayas ingresado la probabilidad, haz clic en el botón que dice "Calcular y Mostrar Z". Inmediatamente después, la aplicación calculará los valores de Z que corresponden al área central bajo la curva de la distribución normal que equivale a la probabilidad que ingresaste.
Visualizar resultados: Después de hacer clic en el botón, debajo aparecerá el valor de Z (valor crítico) calculado. Además, en la gráfica, verás la distribución normal estándar con el área central correspondiente a tu probabilidad sombreada. Esto te da una representación visual de los intervalos (intervalos característicos) en los que la variable aleatoria cae con la probabilidad especificada.
Ejemplo
Imagina que quieres encontrar el intervalo de puntuación Z que contiene el 95% central de la distribución normal estándar. Esto es lo que harías:
Introduce 0.95 en el campo de entrada (este es el 95% que deseas calcular).
Haz clic en el botón "Calcular y Mostrar Z".
La aplicación te mostrará que el valor de ±Z (valor crítico) es aproximadamente ±1.96.
En la gráfica, verás el área central de la curva sombreada, representando el 95% de la distribución normal estándar.
- Introduce la información anterior en la calculadora y comprueba que el resultado
Autor: Antonio Ruiz Murcia. Calculadora Intervalos Característicos.(CC BY-NC-SA)
7. Intervalos característicos en distribuciones N(μ,σ)
Supongamos que la variable aleatoria $X$ sigue una distribución N(μ,σ). Deseamos encontrar un intervalo centrado en la media $(μ-a \text{ ; } μ+a)$ tal que la probabilidad de que la variable aleatoria se encuentre en dicho intervalo sea $p = 1 - \alpha$.
$P(μ-a < X < μ+a) = p = 1 - \alpha$
En otras palabras, un intervalo donde se encuentre el $(1 - \alpha)·100$ % de la población.
Para encontrar dicho intervalo basta con tipificar la variable $X$ y hallar \( k \) correspondiente a la probabilidad acumulada $1 - {\Large{\frac{\alpha}{2}}}$ en la variable $Z$ tipificada.
Es decir, $Z = {\Large{\frac{X - \mu}{\sigma}}}$ y el intervalo correspondiente a $p = 1 - \alpha$ es $(-k \text{ ; } k)$.
Por consiguiente, $-k < {\Large{\frac{X - \mu}{\sigma}}} < k$ con una probabilidad de $1 - \alpha$.
Multiplicando por $σ$, obtenemos $-k·σ < X - \mu < k·σ$. Esto equivale a: $μ -k·σ < X < μ + k·σ$.
Así pues, se obtiene que el intervalo donde se encuentra el $(1 - \alpha)·100$ % de la población es:
$(μ - k·σ; μ + k·σ)$ , siendo \( k \) correspondiente a la probabilidad acumulada $1 - {\Large{\frac{\alpha}{2}}}$ en $N(0 \text{ ; } 1)$
Es recomendable usar como separación de los límites del intervalo el símbolo punto y coma (;), dado que podemos usar como separación decimal tanto el punto como la coma, incluso algunos libros usan el punto como separación de los millares, es conveniente usar un símbolo que se distinga claramente.
Pasos a seguir al realizar este cálculo en una prueba escrita:
En una prueba escrita no vamos a poder usar la calculadora inversa que tenemos en esta situación de aprendizaje, aunque si podríamos disponer de una calculadora que nos hace el cálculo, sin embargo nos van a evaluar por la justificación que hagamos al respecto, por lo tanto debemos explicar el proceso y para ello os recomendamos realizar los siguientes pasos, recordad que según los diferentes libros en los que consultéis podemos encontrar que a los límites de Z les llamen Z crítico $Z_{c}$ o Z alfa-medios $Z_{\alpha / 2}$. Vamos a verlo con tres casos concretos, primero una probabilidad centrada sobre la media del $97%$, segunda del $90%$ y finalmente del $96%$ donde debemos llegar a obtener una gráfica como esta:
Imagen de elaboración propia. Gráfica confianza-significación.(CC BY-NC-SA)
Los dos primeros pasos son iguales en los tres casos, el diferente es el tercer paso:
Paso 1: Dibujar una campana de Gauss colocando los valores de $Z_{c}$ y $-Z_{c}$ o de $Z_{\alpha / 2}$ y $-Z_{\alpha / 2}$ que deben estar centrados en la media, osea a la misma distancia del eje de simetría de la curva de Gauss. Calculamos cuanto queda fuera de la confianza, osea $\alpha$ y lo dividimos entre dos, que serán cada una de las zonas blancas de la imagen de la derecha, en nuestro caso como la confianza es del 97% colocamos centrado con cuatro decimales $0.9700$ y el resto repartido en las dos colas, $0.0300$ dividido entre dos que es $0.0150$ en cada cola,
Imagen de elaboración propia. Paso 1.(CC BY-NC-SA)
Paso 2: Calculamos el valor de la probabilidad que debemos buscar en el interior de la tabla para determinar $Z_{\alpha / 2}$ o $Z_{c}$, para ello y como en la tabla vienen valores de probabilidad acumulada desde menos infinito hasta un valor de Z, debemos sumar la parte coloreada con la cola de la izquierda, en nuestro caso: $0.0150+0.9700=0.9850$
Imagen de elaboración propia. Paso 2.(CC BY-NC-SA)
Paso 3: Búsqueda en la tabla de esta probabilidad para obtener los valores de Z positivo y negativo que determinarán nuestro intervalo característico, en este apartado podemos encontrar tres posibilidades:
La primera como la del ejemplo, tenemos que buscar en la tabla $0.9850$ y nos encontramos ese valor exacto:
Imagen de elaboración propia. Paso 3 Caso 1.(CC BY-NC-SA)
Decimos que buscamos el valor de Z que deja a su izquierda una probabilidad de $0.9850$ y que en la tabla viene exactamente:
$P(Z<2.17)=0.9850\text{ }$ por tanto nuestro $Z_{\alpha / 2}=2.17$
La segunda que no aparezca pero que el caso anterior y el posterior estén a la misma distancia del valor que nos interesa, en esta caso se anotan las dos y hacemos la media de ambas, por ejemplo se da el caso cuando queremos una confianza del 90%:
Imagen de elaboración propia. Paso 1 Caso 2. (CC BY-NC-SA)
Imagen de elaboración propia. Paso 2 Caso 2. (CC BY-NC-SA)
Imagen de elaboración propia. Paso 3 Caso 2.(CC BY-NC-SA)
En este caso es conveniente escribir y explicar que el valor concreto no viene en la tabla, ponemos los dos que lo engloban, buscamos la probabilidad que hace que $P(Z<Z_{\alpha /2}=0.9500$ pero tenemos en la tabla los valores: $P(Z<1.64)=0.9495$ y $P(Z<1.65)=0.9505$, con lo que al estar el que buscamos justo en medio de los dos encontrados podemos hacer la media entre $1.64$ y $1.65$ o simplemente añadir un tercer decimal $5$ al pequeño e indicar que nuestro valor crítico es: $Z_{\alpha/2}=1.645$
Decimos que buscamos el valor de Z que deja a su izquierda una probabilidad de $0.9500$ y en la tabla vienen las probabilidades::
$P(Z<1.64)=0.9495$ y $P(Z<1.65)=0.9505\text{ }$ por tanto nuestro $Z_{\alpha / 2}=1.645$ Porque está justo en medio entre los dos valores.
La tercera opción, no parece como tal en la tabla y no está justo en medio de los dos que lo engloban, la diferencia puede variar entre estar casi pegado a un extremo o al centro, en cualquier caso, lo más correcto es hacer una distribución proporcional, pero tanto en selectividad para las matemáticas de ciencias sociales como en general para nuestros bachilleratos se acepta como aproximación poner el valor más cercano, eso si debemos poner que el valor crítico es aproximadamente igual y no igual. Supongamos que nos piden una confianza del 96%:
Imagen de elaboración propia. Paso 1 Caso 3.(CC BY-NC-SA)
Imagen de elaboración propia. Paso 2 Caso 3.(CC BY-NC-SA)
Imagen de elaboración propia. Paso 3 Caso 3.(CC BY-NC-SA)
Decimos que buscamos el valor de Z que deja a su izquierda una probabilidad de $0.9800$ y en la tabla vienen las probabilidades::
$P(Z<2.05)=0.9798$ y $P(Z<2.06)=0.9803\text{ }$ por tanto nuestro $Z_{\alpha / 2} \approx 2.05$ Porque es el valor más cercano.
8. Ejemplos
Ejemplo 1.
Dada una distribución normal con media \( \mu = 50 \) y desviación típica \( \sigma = 5 \), calcula el intervalo característico que encierra el 90% de la población.
1. Determina el valor de \( k \) que corresponde a la probabilidad acumulada \( 0.95 \) en la distribución normal estándar \( N(0, 1) \).
Esto se puede hacer usando una tabla de la distribución normal estándar o la calculadora inversa de la Normal. El valor de \( k \) es aproximadamente 1.645. En el caso de que se tratase de una prueba escrita recuerda dar las explicaciones como en el apartado anterior.
2. Utiliza la fórmula del intervalo característico \( (\mu - k \cdot \sigma; \mu + k \cdot \sigma) \) para encontrar los límites del intervalo.
Sustituyendo los valores: \[ \mu = 50, \quad \sigma = 5, \quad k \approx 1.645 \] \[ (\mu - k \cdot \sigma; \mu + k \cdot \sigma) = (50 - 1.645 \cdot 5; 50 + 1.645 \cdot 5) \] \[ (50 - 8.225; 50 + 8.225) = (41.775; 58.225) \] Por lo tanto, el intervalo característico que encierra el 90% de la población es aproximadamente \( (41.775; 58.225) \).
Ejemplo 2.
Dada una distribución normal con media \( \mu = 75 \) y desviación típica \( \sigma = 10 \), calcula el intervalo característico que encierra el 99% de la población.
1. Determina el valor de \( k \) que corresponde a la probabilidad acumulada \( 0.99 \) en la distribución normal estándar \( N(0, 1) \).
Esto se puede hacer usando una tabla de la distribución normal estándar o la calculadora inversa de la Normal. El valor de \( k \) es aproximadamente 2.576. En el caso de que se tratase de una prueba escrita recuerda dar las explicaciones como en el apartado anterior.
2. Utiliza la fórmula del intervalo característico \( (\mu - k \cdot \sigma; \mu + k \cdot \sigma) \) para encontrar los límites del intervalo.
Sustituyendo los valores:\[\mu = 75, \quad \sigma = 10, \quad k \approx 2.576\]\[(\mu - k \cdot \sigma; \mu + k \cdot \sigma) = (75 - 2.576 \cdot 10; 75 + 2.576 \cdot 10)\]\[(75 - 25.76; 75 + 25.76) = (49.24; 100.76)\]Por lo tanto, el intervalo característico que encierra el 99% de la población es aproximadamente \( (49.24; 100.76) \).
En una fábrica de producción de botellas de vidrio, el diámetro de las botellas sigue una distribución normal con una media de 10 cm y una desviación típica de 0.2 cm. Deseamos encontrar el intervalo de diámetros en el que se encuentran el 95% de las botellas producidas.
1. Determinamos el valor de \( k \):
Queremos encontrar el valor de \( k \) que corresponde a la probabilidad acumulada \( 0.975 \) en la distribución normal estándar \( N(0, 1) \). Puedes usar la calculadora y dar las explicaciones como en el apartado anterior.
Esto se puede hacer usando una tabla de la distribución normal estándar o la calculadora inversa de la Normal. El valor de \( k \) es aproximadamente 1.96.
2. Calculamos el intervalo característico:
Utilizamos la fórmula del intervalo característico \( (\mu - k \cdot \sigma; \mu + k \cdot \sigma) \).
