Resumen

Importante

 

Una variable aleatoria es una función que asocia a cada elemento del espacio muestral de un experimento aleatorio un número real.

Las variables aleatorias pueden ser de dos tipos:

Variables discretas, aquellas que, aunque pudiendo tener infinitos valores, entre un valor y el siguiente no puede haber ninguno. Por ejemplo, el número de monedas en una mano de los chinos puede ser 2 ó 3, sin embargo, nunca tomará ningún valor entre 2 y 3.

Variables continuas, aquellas que necesariamente para pasar de un valor a otro pueden tomar los infinitos valores intermedios, como por ejemplo, el tiempo de espera de un autobús; un día puede tardar 10 minutos y otro 11, pero entre medias puede darse el caso que tome cualquier valor.

 

Actividad

La función o distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta es la función que a cada valor xi de la variable le asocia su probabilidad pi.

P(X=xi) = pi

  • La probabilidad pi es siempre no negativa y menor que 1: 0 ≤ pi ≤ 1.
  • La suma de todas las probabilidades de los valores de la variable es 1.

Importante

Un experimento aleatorio decimos que es de Bernoulli si sólo tiene dos posibles resultados al realizarse, a los que llamamos éxito y fracaso, según lo que estemos interesados. Una variable aleatoria basada en un experimento de Bernoulli tiene únicamente dos valores 0 y 1, asociados respectivamente al fracaso o al éxito de ese experimento de Bernoulli.

La probabilidad de éxito es el parámetro que define esta distribución y se representa mediante la letra p, y la función de probabilidad es entonces:

 xi  
 pi
 0  1-p
 1  p

 

En cualquier distribución de Bernoulli las medidas representativas de centralización y dispersión vienen dadas en función de este parámetro y valen:

 Media  Varianza  Desviación Típica
             

Importante

Tenemos un experimento de Bernoulli en el que la probabilidad de que ocurra el éxito es "p", repetimos ese experimento una serie de veces "n" en las mismas condiciones y anotamos el número de veces que ocurre el éxito en esas n repeticiones. Entonces, la variable aleatoria X que mide el número de éxitos obtenidos decimos que sigue una distribución Binomial de parámetros n y p, y lo expresamos así:

 

X= n.º de éxitos obtenidos → X~B(n , p)

 

Fíjate que X es una variable aleatoria discreta, pues habrá un éxito, dos o catorce, pero X no podrá valer 1,5 ni 2,23.

Importante

Si X es una variable aleatoria binomial de parámetros n y p, X~B(n , p), la función de probabilidad de esta variable X viene dada por:

 

 

Es decir, si X~B(n,p) la probabilidad de que X tome el valor K, con k comprendido entre 0 y n, se calcula a partir de esa fórmula.

Importante

En una distribución binomial B(n , p), calcular la esperanza o media y la varianza es muy fácil, pues basta aplicar estas dos fórmulas:

Media:  μ = n·p

Varianza: σ2 = n·p·(1-p)

Así, por ejemplo, en el caso del examen de tipo test habíamos visto que fallarlas todas tenía una probabilidad muy baja, que lo lógico era que se acertara alguna, pero, ¿cuántas se puede esperar que acierte? Pues el valor esperado es la media, de ahí que se llame también esperanza, y si la calculamos obtenemos:

 μ = n·p = 10·0,25 = 2, 5

Luego el valor esperado de preguntas acertadas es 2,5.