5.1 Formulación matemática de la ley

Importante

La ley de la Gravitación Universal predice que la fuerza ejercida entre dos cuerpos de masas m_{1} y m_{2} separados una distancia r es proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que separa sus centros, es decir:

 

F es el módulo de la fuerza ejercida entre ambos cuerpos, y su dirección se encuentra en el eje que une ambos cuerpos.
G es la constante de la Gravitación Universal. Hablaremos de ella con más detalle en el siguiente apartado.

Portada

Imagen de Luestlingen Wikimedia Commons. CC

Newton pudo deducir esta ley basándose en sus leyes de la Dinámica.

Partiendo del movimiento circular de un planeta alrededor del Sol, y teniendo en cuenta variables de los movimientos circulares, el módulo de la fuerza de atracción gravitatoria entre ambos se puede expresar como:

Primera deducción

Si la expresión anterior se multiplica por R2se tiene:

deduciendo

 

Teniendo en cuenta la tercera ley de Kepler , la expresión anterior puede escribirse como:

Simplificando

La constante K es proporcional a la masa de cuerpo sobre el que se orbita. Esta constante puede englobarse en otra constante G, que muestre esa proporcionalidad:

 Por tanto, la expresión de la fuerza quedaría como:

Expresión

 

Esta animación puede aclarar algo más esta ley.

Caso práctico

Calcula la fuerza con que la Tierra atrae a la Luna.

Datos:

  • Masa de la Tierra: 5,98× 1024kg
  • Masa de la Luna: 7,349 × 1022kg
  • Distancia entre la Tierra y la Luna: 384.400 km

Imagen de FJGAR en Wikimedia Commons. CC

Si lees atentamente el enunciado de la ley, podrás intuir que la expresión matemática anterior sólo representa parte de la situación. Implícitamente, en la misma se atisba que debe tener cierta importancia la dirección, ya que se indica que la distancia es del centro al centro de cada cuerpo.

Por tanto, la fuerza sería una magnitud vectorial, por lo que su definición correcta sería:

Expresión vectorial

donde vector unitario representa un vector unitario que apunta en la dirección que va desde M hasta m.

 

 

Existen algunos términos acerca de los vectores muy empleados en Física. Uno de ellos ya lo hemos visto antes; es el vector unitario. Pero también hay otros términos relacionados con los vectores y que tienen sentido en los movimientos circulares, como son el vector normal y el vector tangencial.

Si observas las siguientes imágenes verás las representaciones de los vectores unitarios y de vectores normales y tangenciales.

vector normal  Vectores normal y tangencial
Imagen de FJGAR
en Wikimedia Commons. CC
Imagen de FJGAR en Wikimedia Commons. CC

 

Un vector unitario se puede  definir como aquel que tiene por norma o módulo la unidad y, por tanto, se puede construir un vector unitario partiendo de cualquier vector, sólo se tiene que dividir por el módulo de éste.

Por otro lado, un vector normal es llamado al vector que con respecto a una referencia forma un ángulo de 90º con respecto a la misma. Si el ángulo formado con respecto a tal referencia toma valor nulo se le denomina al vector tangencial.

A continuación te mostramos en una animación cómo se puede calcular la fuerza de atracción gravitatoria que ejerce una masa sobre otra ubicada en un mismo plano. Las distancias se miden en kilómetros y las masas en kilogramos. Puedes variar la posición y la masa de ambos cuerpos. Moviendo el cursor de la esquina inferior izquierda puedes ver el procedimiento de cálculo paso a paso. 

Animación de onio72 en Geogebratube. CC