1.1. Planteamiento de la función

Dibujo que ilustra la situación referida. Valla y parcela que limita con un río

Sabes, quizás esta aventura de Martín en busca del chiringuito es demasiado complicada de resolver para empezar. Vamos a fijarnos en otra situación a la que también tiene que hacer frente Martín, esta vez en compañía de su amigo Felipe, para explicar de forma clara cómo se resuelven estas cuestiones.

La finca que regentan, "La Alfonsita", tiene una zona donde el límite es un arroyo. Pues bien aprovechando ese límite, quieren vallar un trozo de tierra para sembrar lechugas y coles y con el fin de que las cabras no puedan entrar. Para aprovechar mejor el terreno, quieren que esa parcela sea rectangular, y claro, el lado que linda con el arroyo no habría que vallarlo. Además, en una nave tienen guardado un rollo de valla de aproximadamente 300 metros y estiman que con esa cantidad es suficiente para el terreno que quieren dedicar a las lechugas y coles

Y ahora la pregunta que le surge a Martín y a Felipe es: -vale, podemos hacer que la forma sea un rectángulo, pero podemos construir muchos rectángulos con esta valla, más ancho o más estrecho, pero... ¿con cuál cubriremos más cantidad de tierra?

Martín no lo dudo:-no te preocupes, le pregunto a mi amiga Alba. Pero Alba no tenía el móvil disponible, así que, ¿le puedes contestar tú?

Ejemplo o ejercicio resuelto

Para empezar tenemos que buscar algo a lo que buscarle el máximo o el mínimo. En este caso, lo que queremos es que la valla abarque la máxima cantidad de tierra, y eso lo que quiere decir es que el área que ocupe la parcela vallada sea la máxima posible.

Así que, ya tenemos claro lo que queremos, que el área de la parcela sea máxima.

Ahora tenemos que expresar eso con una función. ¿Cómo lo hacemos?

Retroalimentación

Queremos que la parcela sea rectangular, y claro un rectángulo depende de dos parámetros, el largo y el ancho. Pues bien, vamos a llamarle x e y a ambas medidas:

Esa sería más o menos la situación que tendríamos. Si te acuerdas, el área de un rectángulo se calcula multiplicando ambas medidas, es decir, A=x·y

Pero claro, eso no es una función de la manera a la que estamos habituado pues tiene dos variables, la x y la y, así que, lo que toca ahora es buscar una relación entre ellas dos de forma que podamos sustituir en el área y que ésta sólo dependa de un parámetro.

Todavía no hemos usado que disponemos 300 metros de valla, y como el lado del río no se valla, en total con esos 300 metros, tenemos que cubrir los dos lados que miden "x" y el lado que mide "y".

O sea, se tiene que cumplir que: x + x + y = 300

O lo que es lo mismo, 2x + y = 300.

Pues bien, si despejamos una de las incógnitas, por ejemplo la "y", nos queda: y = 300 - 2x.

Para terminar, nos vamos al área y sustituimos la "y" por esa expresión:

A = x ·(300 - 2x) y multiplicando, A = 300x - 2x²

Pues ya está, ya tenemos la función área a la que buscarle el máximo y que depende de una sola incógnita, el ancho "x" de la parcela rectangular, y es:

A(x) = 300x - 2x²

Importante

Para resolver un problema de optimización, lo primero es construir la función a maximizar o minimizar, y conseguir que esta dependa de una sola variable.

Si en el contexto del problema aparecen más de una variable, habrá que buscar alguna relación entre ellas de entre los datos que nos aporte el problema. Una vez encontrada esta relación, se tiene que despejar y sustituir en la función para que esta sí dependa ya de una sola variable.

AV - Pregunta Verdadero-Falso

Contesta verdadero o falso a las siguientes cuestiones:

Retroalimentación

Falso

Sólo puede depender de una variable.

Retroalimentación

Verdadero

Para que así la función pueda depender de una sola.

Retroalimentación

Verdadero

Claro, es una función que depende sólo de x.

1.1. Planteamiento de la función

Ejemplo o ejercicio resuelto

Retroalimentación

Importante

AV - Pregunta Verdadero-Falso

Pregunta 1

Sugerencia

Retroalimentación

Pregunta 2

Sugerencia

Retroalimentación

Pregunta 3

Sugerencia

Retroalimentación