1.1. De los irracionales a los reales
Ya los antiguos griegos descubrieron que había objetos, cuyas dimensiones no podían expresarse con los números racionales, una vez elegida una unidad. Llamaron a tales magnitudes inconmensurables, que no pueden medirse. La unión del sustantivo ‘magnitudes’ y el atributo ‘inconmensurables’ parece encerrar en sí misma una contradicción o paradoja. Constituyen el equivalente en lenguaje geométrico de lo que en lenguaje numérico se designa hoy día como número irracional.
Imagen de Matthias_Roeneveld en Pixabay. Licencia Pixabay
Un número irracional contra lo que puede parece a simple vista no es un número absurdo, ilógico, sino un número que no es racional, que no puede expresarse como cociente de números enteros.
Importante
El conjunto de los irracionales, I, está formado por los números que no pueden ser expresados como fracción. Su expresión decimal tiene un número infinito de cifras que no se repiten de forma periódica.
Dado que hemos comentado que los números irracionales tienen infinitas cifras decimales que no se repiten de forma periódica plantea el problema de cómo representar dichos números de forma exacta.
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Imagen de Fredrik en Wikimedia Commons. Licencia Dominio Público |
Imagen de Dnu72 en Wikimedia Commons. Licencia CC |
Importante
Se llama número real a cualquier expresión decimal, ya tenga una cantidad finita o infinita de cifras.
El conjunto de los números reales se denota por 
.
Se clasifican en:
- Racionales (pueden expresarse como cociente de números enteros)
- Irracionales (no racionales)
El conjunto de los números reales se puede representar como si de un cuadro de Modrian se tratara:
Si te fijas, uno de los aspectos más sorprendentes de la historia de los números es que cada nueva invención es ampliación de las precedentes y, de alguna manera, las completa. Los números enteros incluyen los naturales, los números racionales incluyen los números enteros y los reales incluyen los racionales y los irracionales. En el siguiente vídeo puedes verlo con más claridad, además de practicar con algunos ejemplos de clasificación de números.
Vídeo de Tuto mate alojado en Youtube.
Aunque parezca increíble la historia de los números no termina con los números reales. Existe otro conjunto de números llamado números complejos, que como no podía ser de otra forma, está repleto de números imaginarios.
Comprueba lo aprendido
Retroalimentación
Falso
Ten en cuenta que es la raíz cuadrada de un número natural que no es cuadrado perfecto.Retroalimentación
Verdadero
Fíjate bien, es una fracción de dos números enteros.Retroalimentación
Falso
Observa que es un número decimal con infinitas cifras periódicas.Retroalimentación
Verdadero
Los reales son todos los racionales e irracionales.Ya hemos visto que las raíces están íntimamente relacionadas con los números irracionales. Veamos que las raíces se pueden expresar como potencias de exponente fraccionario.
Importante
Una potencia de exponente fraccionario 
es un radical de índice 
y radicando 
, y se denota por: 
En consecuencia, las raíces pueden expresarse como potencias de exponente fraccionario. Y, por tanto, podemos efectuar los cálculos utilizando las propiedades de las fracciones y las reglas básicas de las potencias.
En el siguiente vídeo puedes ver una explicación más detallada al respecto:
Vídeo de Tuto mate alojado en Youtube
Comprueba lo aprendido
Escena de José Luis Alonso Borrego en Proyecto Descartes. Licencia CC
Para saber más
Existen infinitos números irracionales. Algunos de ellos por su importancia histórica y práctica, han llegado a adquirir un nombre propio, como por ejemplo el número e:
Vídeo de Derivando alojado en Youtube