1.1. Definición y propiedades

Observa la siguiente gráfica (pincha en la imagen para ampliar) sobre cómo han evolucionado las nominaciones a actores y actrices de raza negra por décadas:

Como puedes ver el gráfico está compuesto por segmentos. Podríamos decir que la función que está representada está definida a trozos. Para dar una función a trozos tenemos que decir cuál es la función en cada trozo y sobre qué intervalo o puntos está actuando.

Importante

Una función definida a trozos es aquella cuya expresión analítica contiene más de una fórmula: para distintos valores de la variable independiente "x" se deben usar distintas fórmulas que permitan calcular la imagen "y" que les corresponde.
Para cada valor de "x", hemos de tener claro qué trozo de función hay que asociarle, por lo que es absolutamente imprescindible que cada fórmula se acompañe de un dominio donde aplicarse. Así, la expresión analítica general de una función definida a trozos tiene que tener el siguiente aspecto:

Y los dominios de cada fórmula serán intervalos o puntos.
El dominio de toda la función es la unión de los dominios de cada uno de los trozos.

Teniendo en cuenta esta definición, en la siguiente escena prueba a determinar la imagen de los siguientes valores:

Escena de José Luis Alonso Borrego en Proyecto Descartes. Licencia CC

Los intervalos en que está definida una función a trozos pueden ser abiertos, cerrados o abiertos en un extremo y cerrados en el otro. Aunque esto pueda parecer una cuestión sin importancia, la tiene en los casos en que el punto extremo no pertenezca a ninguno de los dos intervalos que separa o bien, no coincidan las imágenes en el punto de las funciones definidas en dichos intervalos correlativos. Este hecho se refleja en los gráficos a través puntos rellenos y puntos huecos. Esto se hace para diferenciar si el punto entra o no en la función. Si el punto entra, éste se rellena y si la función se acerca hasta el punto pero sin que el extremo entre, éste se queda sin rellenar.
Este hecho se tendrá en cuenta tanto al estudiar el dominio y como la continuidad de la función.

Esta escena te ayuda a dibujar cualquier función dividida en tres trozos, aunque si queremos que haya dos, sólo tenemos que hacer coincidir los valores de los controles "a" y "b". Para que la gráfica sea correcta, el valor de "a" siempre tiene que ser más pequeño que el de "b".
Para cambiar la función, haz doble clic sobre la definición de la parte de la izquierda y escribe la que quieras.
Observa que aparecen las representaciones completas de cada gráfica que hayas escrito. Los puntos negros marcados en estas te indican donde termina o empieza cada trozo de función.

Caso práctico

Vamos a representar las siguientes funciones a trozos, ayudándote de la escena anterior.

$f(x)= \left\{ \begin{array}{lcc} 2x+3 & si & x \leq 2 \\ \\ 4 & si & 2 < x < 4 \\ \\ x-5 & si & x \geq 4 \end{array} \right.$ $f(x)= \left\{ \begin{array}{lcc} -x+2 & si & x < -1 \\ \\ x^2 & si & -1\leq x\leq 2 \\ \frac{x}{2} & si & x >2 \end{array} \right.$

Caso práctico

Fíjate en esta curiosa gráfica que muestra el tiempo de espera de una persona que acude a un centro de salud según la hora de la mañana a la que va.

gráfica que muestra el tiempo que una persona espera a ser atendida

Puedes ver que en este Centro, la consulta empieza a las 8 de la mañana, así que si se te ocurre ir a las 12 de la noche (0 horas) vas a tener que esperar hasta las ocho de la mañana.
Además, a las 2 de la tarde paran las consultas dos horas, para que el personal sanitario y administrativo pueda ir a comer, por lo que a las 13 h (1 de la tarde) dejan de recibirse pacientes para el turno de mañana, teniendo que esperar entonces al turno de tarde, donde la consulta está abierta de 4 a 6 de la tarde (desde las 16 hasta las 18 h).
Si te fijas, mirando la gráfica podemos saber cuánto tiempo debe esperar una persona que va a las 6 de la mañana, o a las 8:45, o a las 17h, pero no se ve tan claro el tiempo que debe esperar si acude a las 10:15 o a las 12:30.
Con objeto de mejorar el servicio, los responsables del centro han acudido a la asesoría de Eva y Evaristo para que les ayuden a mejorar estos tiempos de espera. Éstos, lo primero que van a hacer es poner el tiempo de espera como una función. ¿Se podrá encontrar la expresión analítica de la función que da el tiempo de espera según la hora a la que llega el paciente?
Vamos a ver que sí, que es posible, y puesto que nuestra gráfica está formada por trozos de rectas, la función será una función a trozos.

Retroalimentación

Grupo de chicos en la puerta de un Centro de Salud

Imagen de dePorcuna bajo CC

Trozo I: Desde las 0h hasta las 8h.

Como en esta zona la gráfica es una recta, hemos de encontrar la ecuación de esa recta. Lo hacemos de la misma forma que en el tema anterior. Tenemos dos puntos por los que pasa (0,8) y (8,0). Calculamos su pendiente y nos sale que ésta es -1. Además, como pasa por el punto (0,8), sabemos que la ordenada en el origen es 8.

Por tanto, la ecuación de esa recta es: y = -x + 8.

Trozo II: Desde las 8 hasta las 9

En esta zona, la gráfica es una recta horizontal y por tanto corresponde a una función constante. Como está a la altura cero, la función en ese trozo es:

y = 0

Trozo III: Desde las 9 hasta las 12 h.

Aquí, la gráfica es una recta ascendente. Dos puntos de referencia serían (9,0) y (12,2), así que, la pendiente sería 2/3 y la ordenada en el origen -18/3

Por tanto en este tramo la función es:

Trozo IV: Desde las 12 hasta la una de la tarde.

Ahora la recta es descendente y pasa por los puntos (12,2) y (13,1). Fácilmente se ve que la pendiente es ahora -1 y que la ordenada en el origen es 14, luego la recta es:

y = - x + 14

Trozo V: Desde las 13 h hasta las 16 h.

Nuevamente tenemos una recta descendente que ahora pasa por los puntos (13,3) y (16,0). Volvemos a calcular la pendiente y nos vuelve a salir -1 y hallando la ordenada en el origen, obtenemos que ésta es 16. Por tanto, la ecuación es:

y = - x + 16

Trozo VI: Desde las 16 hasta las 18 horas.

A estas horas se ve que no acude mucha gente porque el tiempo de espera es cero y se mantiene constante, luego la recta que cubre esta zona es nuevamente y = 0.

Por tanto, ya lo tenemos. Nos falta por tener en cuenta el punto cerrado y abierto de las 13 horas. El que llega a la una de la tarde, esperará una hora pero el que llegue a la una y minuto esperará 3, es decir, el signo igual hay que ponerlo con el tramo que va de 12 a 13, que es quién tiene el punto cerrado. En el tramo de 13 a 16 habrá que poner desigualdad estricta a las 13 horas, pues no entrará en ese apartado.

La expresión analítica de la función es por tanto:

Observa que los ≤ de 8, 9, 12 y 16, podrían haberse puesto en cualquiera de los dos lados donde aparecen, ya que la función es continua en esos puntos y no presenta saltos.

Ahora ya sí que podemos calcular con total exactitud cuánto tiempo tarda en ser atendido una persona que llega, por ejemplo, a las 10:45. Sustituiríamos x por 10,75 (10:45 es 10 y tres cuartos) en el tercer trozo de la función.

Comprueba lo aprendido

Vamos a ver si lo has entendido.
Cógete papel y lápiz y averigua la fórmula que le corresponde a cada una de las cuatro gráficas siguientes:

Las fórmulas que corresponden a estas funciones son:

Gráfica 1	Gráfica 2

Gráfica 3	Gráfica 4