1.1. Definición y propiedades
Observa la siguiente gráfica (pincha en la imagen para ampliar) sobre cómo han evolucionado las nominaciones a actores y actrices de raza negra por décadas:
Como puedes ver el gráfico está compuesto por segmentos. Podríamos decir que la función que está representada está definida a trozos. Para dar una función a trozos tenemos que decir cuál es la función en cada trozo y sobre qué intervalo o puntos está actuando.
Importante
Una función definida a trozos es aquella cuya expresión analítica contiene más de una fórmula: para distintos valores de la variable independiente "x" se deben usar distintas fórmulas que permitan calcular la imagen "y" que les corresponde.
Para cada valor de "x", hemos de tener claro qué trozo de función hay que asociarle, por lo que es absolutamente imprescindible que cada fórmula se acompañe de un dominio donde aplicarse. Así, la expresión analítica general de una función definida a trozos tiene que tener el siguiente aspecto:

Y los dominios de cada fórmula serán intervalos o puntos.
El dominio de toda la función es la unión de los dominios de cada uno de los trozos.
Teniendo en cuenta esta definición, en la siguiente escena prueba a determinar la imagen de los siguientes valores:
Escena de José Luis Alonso Borrego en Proyecto Descartes. Licencia CC
Los intervalos en que está definida una función a trozos pueden ser abiertos, cerrados o abiertos en un extremo y cerrados en el otro. Aunque esto pueda parecer una cuestión sin importancia, la tiene en los casos en que el punto extremo no pertenezca a ninguno de los dos intervalos que separa o bien, no coincidan las imágenes en el punto de las funciones definidas en dichos intervalos correlativos. Este hecho se refleja en los gráficos a través puntos rellenos y puntos huecos. Esto se hace para diferenciar si el punto entra o no en la función. Si el punto entra, éste se rellena y si la función se acerca hasta el punto pero sin que el extremo entre, éste se queda sin rellenar.
Este hecho se tendrá en cuenta tanto al estudiar el dominio y como la continuidad de la función.
Esta escena te ayuda a dibujar cualquier función dividida en tres trozos, aunque si queremos que haya dos, sólo tenemos que hacer coincidir los valores de los controles "a" y "b". Para que la gráfica sea correcta, el valor de "a" siempre tiene que ser más pequeño que el de "b".
Para cambiar la función, haz doble clic sobre la definición de la parte de la izquierda y escribe la que quieras.
Observa que aparecen las representaciones completas de cada gráfica que hayas escrito. Los puntos negros marcados en estas te indican donde termina o empieza cada trozo de función.
Caso práctico
Vamos a representar las siguientes funciones a trozos, ayudándote de la escena anterior.


Caso práctico
Fíjate en esta curiosa gráfica que muestra el tiempo de espera de una persona que acude a un centro de salud según la hora de la mañana a la que va.
![]() |
Puedes ver que en este Centro, la consulta empieza a las 8 de la mañana, así que si se te ocurre ir a las 12 de la noche (0 horas) vas a tener que esperar hasta las ocho de la mañana.
Además, a las 2 de la tarde paran las consultas dos horas, para que el personal sanitario y administrativo pueda ir a comer, por lo que a las 13 h (1 de la tarde) dejan de recibirse pacientes para el turno de mañana, teniendo que esperar entonces al turno de tarde, donde la consulta está abierta de 4 a 6 de la tarde (desde las 16 hasta las 18 h).
Si te fijas, mirando la gráfica podemos saber cuánto tiempo debe esperar una persona que va a las 6 de la mañana, o a las 8:45, o a las 17h, pero no se ve tan claro el tiempo que debe esperar si acude a las 10:15 o a las 12:30.
Con objeto de mejorar el servicio, los responsables del centro han acudido a la asesoría de Eva y Evaristo para que les ayuden a mejorar estos tiempos de espera. Éstos, lo primero que van a hacer es poner el tiempo de espera como una función. ¿Se podrá encontrar la expresión analítica de la función que da el tiempo de espera según la hora a la que llega el paciente?
Vamos a ver que sí, que es posible, y puesto que nuestra gráfica está formada por trozos de rectas, la función será una función a trozos.
Comprueba lo aprendido
Vamos a ver si lo has entendido.
Cógete papel y lápiz y averigua la fórmula que le corresponde a cada una de las cuatro gráficas siguientes:
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Las fórmulas que corresponden a estas funciones son:
Gráfica 1 | Gráfica 2 |
![]() |
![]() |
Gráfica 3 | Gráfica 4 |
![]() |
![]() |