2.1. Lineales

Importante
Una inecuación es una desigualdad () entre letras y números, relacionados mediante operaciones aritméticas. A las letras las llamaremos incógnitas.
Recordemos que las operaciones aritméticas son las siguiente: suma, resta, producto, división y potenciación.
Una inecuación respeta todas las propiedades vistas para las desigualdades numéricas, que son:
- No cambia de sentido, si se suman o restan números a ambos miembros, ya sean positivos o negativos.
- Tampoco cambia de sentido, si se multiplican o dividen ambos miembros por un número positivo.
- Cambia de sentido, se desequilibra hacia el otro lado, si se multiplican o dividen ambos miembros por un número negativo.
Una inecuación lineal (o de primer grado) con una incógnita es una inecuación con una sola incógnita, y cuyo exponente es necesariamente 1.
Ejemplo:
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Llamaremos soluciones de una inecuación a todos los números reales que verifican la inecuación cuando sustituimos su valor en la incógnita de la misma.
Ejemplo:
En la inecuación 2x-5 < 7, el número 3 verifica la inecuación, ya que: 2·3-5 = 1 que es menor que 7.
También el 2 lo verifica, ya que 2·2-5 = -1, que también es menor que 7. Y el 1, y el 0, y el -7, y muchos más, y es que la solución de una inecuación es, generalmente, un conjunto de infinitos números reales.
Comprueba lo aprendido
Solución
Comprueba lo aprendido
Retroalimentación
Falso
Si sumamos un número a ambos lados, la desigualdad no tenía que variar.
Retroalimentación
Verdadero
Si multiplicamos ambos lados de la desigualdad por un número menor que cero, el signo de la desigualdad cambia.
Retroalimentación
Verdadero
Sumamos -3, la desigualdad se mantiene: -x≤1. Multiplicamos por -1, la desigualdad cambia: x≥-1.
Importante
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- Si el símbolo de desigualdad de la ecuación es estricto, es decir, es un
o un
. entonces el extremo numérico de la semirrecta no es una solución de la inecuación.
- Si el símbolo de desigualdad de la ecuación no es estricto, es decir, es un
o un
. entonces el extremo numérico de la semirrecta si es una solución de la ecuación.
El procedimiento de resolución de una inecuación es en principio igual al de una ecuación como se puede ver en los siguientes ejemplos.
Caso de estudio
La única diferencia que hay al resolver una inecuación en comparación con la resolución de las ecuaciones es que hay que tener cuidado cuando multiplicamos por un número negativo (o bien pasamos un número negativo que esta multiplicando a la incógnita al otro miembro), puesto que en tal caso la desigualdad cambia de sentido.
Resuelve esta inecuación de dos maneras diferentes: una primera en la que te lleves las incógnitas x al segundo miembros (la resolverás sin problemas, porque no tendrás que dividir por un número negativo); y una segunda, donde deberías traer las incógnitas al primer miembro, y tendrás que aplicar lo dicho anteriormente, y después pincha en "Mostrar retroalimentación", para comprobar que la hiciste bien.
La inecuación a resolver es:
2x -3 < 4x + 5 |
A continuación presentamos un problema que sin la ayuda de las inecuaciones sería imposible de resolver.
Caso de estudio
Jesús es el chico de mayor edad de un equipo de fútbol de categoría infantil. Es un poco bromista y además está bien preparado en Matemáticas.
Ante la pregunta realizada por el nuevo entrenador: "¿cuántos años tienes?" le responde: “El doble de mi edad más dos años es mayor que mi edad más 14 años”.
Con esta pista el nuevo entrenador no puede obtener la edad de Jesús, pero ¿puede averiguar que edad como mínimo tiene Jesús?
Comprueba lo aprendido
Retroalimentación
Falso
Solución:

Retroalimentación
Verdadero
Retroalimentación
Falso
Solución:

Comprueba lo aprendido
Retroalimentación
Falso
Veámoslo:
El valor x = 4 no entra en el conjunto de soluciones de la inecuación puesto que si sustituimos x= 4, quedaría 5 < 5, que no es cierto.
Por tanto, la solución de la inecuación viene dada por el intervalo abierto
Retroalimentación
Verdadero
Si resolvemos la inecuación, paso a paso, vemos que:
Es decir, cualquier valor mayor o igual que {{3} \over {7}} verifica la inecuación. La solución es el intervalo:
Ejercicio Resuelto
Resuelve la siguiente inecuación
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