2.2. Cuadradas
Importante
Inecuaciones cuadráticas
Son aquellas que adoptan las siguientes formas:
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Siendo a, b y c números reales cualesquiera.
Su solución puede facilitarse considerando la función y resolviendo la ecuación
; se presentan los siguientes casos:
CASO I
La ecuación admite dos raíces reales distintas
.
En este caso la solución viene dada por el signo que adopta la función a la derecha y a la izquierda de los valores .
Veamos el siguiente ejemplo:
Resolver la inecuación .
Resolvemos la ecuación y obtenemos como solución de la misma
. El procedimiento de resolución de la inecuación se explica en la siguiente imagen.
![]() Fuente propia realizada bajo Dominio público
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Comprobamos el signo de la función (cuya representación gráfica es una parábola, tal como aparece en rojo en la imagen de arriba) a la derecha e izquierda de los valores 2 y 3. Empezamos con el 2.
Probamos un valor cualquiera que se encuentre a la izquierda del 2 (o sea menor que este) por ejemplo el 0. Si le damos a la x este valor, la función vale 6. Al ser 6>0 eso quiere decir que todos los valores menores de 2 son solución de nuestra inecuación por lo que ya tenemos un primer conjunto de valores de x que vienen representados por el intervalo:
.
Vamos ahora a comprobar los valores a la derecha del 2 (mayores que este) pero menores que 3 (que era la otra solución que nos daba la ecuación ). Para ello elegimos un valor cualquiera que cumpla esta condición, por ejemplo x=2,5. Para este valor nuestra función vale y=-0,25 lo cual no cumple la condición de la inecuación (
) por lo que el intervalo de valores (2,3) no sería solución de la inecuación.
Pasemos ahora a probar los valores a la derecha del 3 (mayores que este) ya que los que se encuentran a la izquierda ya están comprobados. Si probamos con x=4, la función toma como valor y=2, lo cual cumple la condición de nuestra inecuación. Esto va a ocurrir para cualquier valor mayor que 3 de ahí que el otro intervalo de valores solución de nuestra inecuación es .
La solución final es el conjunto de valores de x que pertenece a la unión de los intervalos hallados más arriba y viene representada de la siguiente forma .
CASO II
La ecuación tiene solo dos raices reales coincidentes, es decir
.
En este caso la solución viene dada por el signo que adopta la función a la derecha y a la izquierda del valor o
.
Veamos el siguiente ejemplo:
Resolver la inecuación .
Resolvemos la ecuación y obtenemos como solución de la misma
. El procedimiento de resolución de la inecuación se explica en la siguiente imagen.
![]() Fuente propia realizada bajo Dominio público
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Podemos apreciar que la inecuación se cumple para cualquier valor de x, excepto para la raíz x=2, para la cual el valor de la inecuación es 0 de ahí que la solución de la misma sea:
.
CASO III
La ecuación no tiene raíces reales.
En este caso la solución viene dada por el signo que adopta la función para cualquier valor.
Veamos el siguiente ejemplo:
Resolver la inecuación .
Resolvemos la ecuación y vemos que no tiene solución. El procedimiento de resolución de la inecuación se explica en la siguiente imagen.
![]() Fuente propia realizada bajo Dominio público
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La representación gráfica de la función , está por encima del eje x, lo que indica que adopta valores positivos (>0) para cualquier valor de x de ahí que la solución de la inecuación sea
.
En cambio la inecuación carece de solución.
Si todavía te queda alguna duda puedes visualizar el siguiente vídeo.
Vídeo de Tutomate alojado en Youtube
Comprueba lo aprendido
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Escena de José Luis Alonso Borrego en Proyecto Descartes. Licencia CC