Resumen
Importante
Propiedades de las desigualdades
Sean a, b y c tres números reales.
- Si a<b, entonces a+c<b+c para cualquier número c.
- Si a<b, entonces a·c<b·c para cualquier número c>0.
- Si a<b, entonces a·c>b·c para cualquier número c<0.
Las desigualdades no se comportan igual que las igualdades cuando multiplicamos ambos términos por un mismo número.
Las propiedades de arriba pueden enunciarse de la siguiente manera:
- Si a los dos miembros de una desigualdad se le suman o restan un número positivo, la desigualdad no cambia de sentido.
- Si a los dos miembros de una desigualdad se le suman o restan un número negativo, la desigualdad no cambia de sentido.
- Si se multiplican o dividen por un número positivo los dos miembros de una desigualdad, entonces la desigualdad no cambia de sentido.
- Si se multiplican o dividen por un número negativo los dos miembros de una desigualdad, entonces se invierte y cambia de sentido.
Fuente propia realizada bajo Dominio público
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Importante
Dados dos números reales cualesquiera, a y b, se pueden dar estas tres relaciones entre ellos:
- a < b ; a menor que b. A la expresión la llamamos desigualdad
- a = b ; a igual que b. A la expresión la llamamos igualdad
- a > b ; a mayor que b. A la expresión la llamamos desigualdad
La segunda relación se denomina igualdad y cuando aparecen letras además de cifras numéricas, dan origen a las ecuaciones.
Las relaciones primera y tercera se denominan desigualdades y cuando aparecen letras además de cifras numéricas, dan origen a las inecuaciones. Con ellas trabajaremos en este tema.
Por otro lado estas propiedades que cumplen todos los números reales, hace que su conjunto, el conjunto de los números reales, sea totalmente ordenado. Hablamos entonces, del orden de los números reales.
Otra forma de visualizar las desigualdades y el orden de los números reales sería:
Fuente propia realizada bajo Dominio público
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Importante
Ahora que sabemos resolver inecuaciones lineales, vamos a ver cómo se pueden resolver sistemas de dos inecuaciones lineales con una incógnita.
Los pasos a seguir son los siguientes:
- Resolvemos cada inecuación por separado.
- La solución del sistema es la intersección de las soluciones de cada una de las inecuaciones por separado.
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Inecuaciones cuadráticas
Son aquellas que adoptan las siguientes formas:
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Siendo a, b y c números reales cualesquiera.
Inecuaciones racionales
Vamos a ver, como caso más sencillo, aquellas que adoptan la forma:
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Siendo a, b, c y d números reales cualesquiera.