2.1. Lineales

Las dos expresiones anteriores se denominan inecuaciones o desigualdades.
Lo primero que llama la atención de las inecuaciones es que tienen infinitas soluciones. Esa es una característica esencial de las inecuaciones.
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Imagen de Tama66 en Pixabay. Licencia Pixabay
Trabajaremos exclusivamente con inecuaciones de una incógnita.

Importante

Una inecuación es una desigualdad () entre letras y números, relacionados mediante operaciones aritméticas. A las letras las llamaremos incógnitas.

Recordemos que las operaciones aritméticas son las siguiente: suma, resta, producto, división y potenciación.

Una inecuación respeta todas las propiedades vistas para las desigualdades numéricas, que son:

- No cambia de sentido, si se suman o restan números a ambos miembros, ya sean positivos o negativos.

- Tampoco cambia de sentido, si se multiplican o dividen ambos miembros por un número positivo.

- Cambia de sentido, se desequilibra hacia el otro lado, si se multiplican o dividen ambos miembros por un número negativo.

Una inecuación lineal (o de primer grado) con una incógnita es una inecuación con una sola incógnita, y cuyo exponente es necesariamente 1.

Ejemplo:

\begin{matrix} 2x-5  & < & 7 \\  3-x  & > & 2x-5  \end{matrix}

 

Llamaremos soluciones de una inecuación a todos los números reales que verifican la inecuación cuando sustituimos su valor en la incógnita de la misma.

 

Ejemplo:

En la inecuación 2x-5 < 7, el número 3 verifica la inecuación, ya que: 2·3-5 = 1 que es menor que 7.

También el 2 lo verifica, ya que 2·2-5 = -1, que también es menor que 7. Y el 1, y el 0, y el -7, y muchos más, y es que la solución de una inecuación es, generalmente, un conjunto de infinitos números reales.

Comprueba lo aprendido

Pregunta

Tenemos la siguiente inecuación:

¿Cuáles de los siguientes valores son solución de esa inecuación?

Respuestas

x=0

x=3

x=-2

x=1/2

Retroalimentación

Comprueba lo aprendido

Contesta  Verdadero o Falso:

Pregunta 1

Si x \geq -2, entonces x-5 \leq -7

Pregunta 2

Si x>3, entonces -5x<-15

Pregunta 3

Si 3-x \leq 4, entonces x \geq -1

Importante

Resolver una inecuación es encontrar el conjunto de números reales que cumplen la desigualdad. Este conjunto infinito de soluciones será un intervalo de la recta real.

El proceso de resolución consiste en realizar tranformaciones (suma, resta, multiplicación o división) de una misma cantidad a ambos miembros de una inecuación, hasta llegar a una inecuación en la que la incógnita esté sóla en uno de sus miembros, en el otro haya un número y, entre ambos, uno de los signos de desigualdad.

El objetivo de estas transformaciones es llegar a obtener uno de los siguientes modelos (donde x es la incógnita y s un número real)


Finalmente, la solución de la inecuación vendrá dada por los infinitos valores que verifican esta última desigualdad. Es decir, todos los puntos del intervalo que tienen por extremo inicial (o final) al valor s.
  • Si el símbolo de desigualdad de la ecuación es estricto, es decir, es un o un . entonces el extremo numérico de la semirrecta no es una solución de la inecuación.
  • Si el símbolo de desigualdad de la ecuación no es estricto, es decir, es un o un . entonces el extremo numérico de la semirrecta si es una solución de la ecuación.

El procedimiento de resolución de una inecuación es en principio igual al de una ecuación como se puede ver en los siguientes ejemplos.

Caso de estudio

La única diferencia que hay al resolver una inecuación en comparación con la resolución de las ecuaciones es que hay que tener cuidado cuando multiplicamos por un número negativo (o bien pasamos un número negativo que esta multiplicando a la incógnita al otro miembro), puesto que en tal caso la desigualdad cambia de sentido.

Resuelve esta inecuación de dos maneras diferentes: una primera en la que te lleves las incógnitas x al segundo miembros (la resolverás sin problemas, porque no tendrás que dividir por un número negativo); y una segunda, donde deberías traer las incógnitas al primer miembro, y tendrás que aplicar lo dicho anteriormente, y después pincha en "Mostrar retroalimentación", para comprobar que la hiciste bien.

La inecuación a resolver es:

2x -3 < 4x + 5

A continuación presentamos un problema que sin la ayuda de las inecuaciones sería imposible de resolver.

Caso de estudio

Jesús es el chico de mayor edad de un equipo de fútbol de categoría infantil. Es un poco bromista y además está bien preparado en Matemáticas.

Ante la pregunta realizada por el nuevo entrenador: "¿cuántos años tienes?" le responde: “El doble de mi edad más dos años es mayor que mi edad más 14 años”.

Con esta pista el nuevo entrenador no puede obtener la edad de Jesús, pero ¿puede averiguar que edad como mínimo tiene Jesús?

Comprueba lo aprendido

Indica si es Verdadero o Falso el intervalo solución propuesto para cada una de las siguientes inecuaciones.

Pregunta 1

(a) Solución:

Pregunta 2

(b) Solución:

Pregunta 3

(c) Solución:

Comprueba lo aprendido

Indica si son Verdaderos o Falsos los intervalos que se dan como soluciones de las dos inecuaciones siguientes.
 
Puedes ayudarte del applet de Geogebra para comprobar tus cálculos. Ten en cuenta que antes de poder utilizar este applet, debes realizar algunas transformaciones en las dos inecuaciones.

Pregunta 1

El intervalo es la solución de

Pregunta 2

La solución de es el intervalo

Comprueba lo aprendido

Pregunta

¿Cuáles de las siguientes inecuaciones, tienen como solución la siguiente representación gráfica?

Solución
Fuente propia realizada bajo Dominio público

Respuestas

2x+1≥3

3(x+2)≥0

2(x+5)≥2-2x

Retroalimentación

Ejercicio Resuelto

Resuelve la siguiente inecuación