1.1. Desigualdades y propiedades
Con las siguientes imággenes puedes entender la diferencia entre una igualdad y una desigualdad:
Fuente propia realizada bajo Dominio público
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Importante
Dados dos números reales cualesquiera, a y b, se pueden dar estas tres relaciones entre ellos:
- a < b ; a menor que b. A la expresión la llamamos desigualdad
- a = b ; a igual que b. A la expresión la llamamos igualdad
- a > b ; a mayor que b. A la expresión la llamamos desigualdad
La segunda relación se denomina igualdad y cuando aparecen letras además de cifras numéricas, dan origen a las ecuaciones.
Las relaciones primera y tercera se denominan desigualdades y cuando aparecen letras además de cifras numéricas, dan origen a las inecuaciones. Con ellas trabajaremos en este tema.
Por otro lado estas propiedades que cumplen todos los números reales, hace que su conjunto, el conjunto de los números reales, sea totalmente ordenado. Hablamos entonces, del orden de los números reales.
Estas relaciones numéricas la aplicamos de manera insconciente en multitud de situaciones. Veamos los siguientes ejemplos ejemplos de aplicación.
Comprueba lo aprendido
Capital | Madrid | Londres |
Berlín |
Moscú |
Roma |
Temperatura (ºC) |
16 | 8 | -1 | -5 | 8 |
Retroalimentación
Verdadero
Porque 16 > 8Retroalimentación
Falso
Porque -5 < -1 . Recuerda que, dados dos números negativos , el que tenga mayor valor absoluto es el menor de los dos.Retroalimentación
Verdadero
Porque 8 = 8Comprueba lo aprendido
Caso de estudio
- He sacado en el último control de matemáticas, al menos un 7.
- La tarifa de mi móvil es plana desde las 10 de la mañana hasta las 6 de la tarde.
- La edad del seleccionador español Vicente Del Bosque es 59 años, cifra que supera las edades de Busquet y Javi Martínez (ambos tienen 21)
- Como todo el mundo sabe el valor del número real
es menor que 4.
Importante
Propiedades de las desigualdades
Sean a, b y c tres números reales.
- Si a<b, entonces a+c<b+c para cualquier número c.
- Si a<b, entonces a·c<b·c para cualquier número c>0.
- Si a<b, entonces a·c>b·c para cualquier número c<0.
Las desigualdades no se comportan igual que las igualdades cuando multiplicamos ambos términos por un mismo número.
Las propiedades de arriba pueden enunciarse de la siguiente manera:
- Si a los dos miembros de una desigualdad se le suman o restan un número positivo, la desigualdad no cambia de sentido.
- Si a los dos miembros de una desigualdad se le suman o restan un número negativo, la desigualdad no cambia de sentido.
- Si se multiplican o dividen por un número positivo los dos miembros de una desigualdad, entonces la desigualdad no cambia de sentido.
- Si se multiplican o dividen por un número negativo los dos miembros de una desigualdad, entonces se invierte y cambia de sentido.
Veamos gráficamente qué significan estas propiedades:
Fuente propia realizada bajo Dominio público
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Comprueba lo aprendido
Retroalimentación
Verdadero
Retroalimentación
Falso
Es falso puesto que -5 < 8 (y si restamos 2 a cada miembro tendríamos) -7 < 6, luego la desigualdad no ha cambiado y sigue haciendo más frío en Moscú que en Roma.Retroalimentación
Falso
Retroalimentación
Verdadero
Caso de estudio
- Suma 2 a cada uno de los miembros de la desigualdad y comprueba si es cierta.
- Suma ahora 1,72 a cada miembro y comprueba.
- Suma esta vez -5 a cada miembro, y verifica si se mantiene la desigualdad.
Una vez realizado los tres apartados, debes llegar a una conclusión, y activar la opción "Ver solución" para comprobar que estás en lo cierto.
Caso de estudio
- Multiplica los dos miembros por 3, y comprueba si se mantiene la desigualdad.
- Multiplica ahora por 4,5 y vuelve a comprobar.
- Multiplica esta vez por 1/2, o lo que es lo mismo, divide por 2 ambos miembros, y comprueba la desigualdad.
Una vez hayas hecho los tres apartados y hayas llegado a una conclusión, pincha en "Ver solución" y comprueba.
- Multiplica por -1, y comprueba a ver si se mantiene la desigualdad o se obtiene otra distinta.
- Multiplica ahora por -4, y vuelve a comprobar.
- Divide ahora por -2, a ver que ocurre.
Cuando hayas llegado a una conclusión, pincha en "Ver solución", y obtén la propiedad adecuada.