1.1. Desigualdades y propiedades

Con las siguientes imággenes puedes entender la diferencia entre una igualdad y una desigualdad:

Balanzas con pesas
Fuente propia realizada bajo Dominio público

 

Importante

Dados dos números reales cualesquiera, a y b, se pueden dar estas tres relaciones entre ellos:

  • a < b ; a menor que b. A la expresión la llamamos desigualdad

  • a = b ; a igual que b. A la expresión la llamamos igualdad

  • a > b ; a mayor que b. A la expresión la llamamos desigualdad

La segunda relación se denomina igualdad y cuando aparecen letras además de cifras numéricas, dan origen a las ecuaciones.

Las relaciones primera y tercera se denominan desigualdades y cuando aparecen letras además de cifras numéricas, dan origen a las inecuaciones. Con ellas trabajaremos en este tema.

Por otro lado estas propiedades que cumplen todos los números reales, hace que su conjunto, el conjunto de los números reales, sea totalmente ordenado. Hablamos entonces, del orden de los números reales.

Estas relaciones numéricas la aplicamos de manera insconciente en multitud de situaciones. Veamos los siguientes ejemplos ejemplos de aplicación.

Comprueba lo aprendido

En el día de ayer, las temperaturas medias en cinco capitales europeas fueron:
Capital Madrid Londres
Berlín
Moscú
Roma
Temperatura (ºC)
 16 8 -1 -5 8
Indica la veracidad o falsedad de la siguientes afirmaciones:

Pregunta 1

En Madrid hace más calor que en Londres.

Pregunta 2

En Berlín hace más frío que en Moscú.

Pregunta 3

En Londres hace la misma temperatura que en Roma.

Comprueba lo aprendido

Ordena la lista de temperaturas de la tabla anterior, en orden ascendente (y luego en orden descendente), colocando entre cada dos valores el signo <, =, >, que corresponda.

En orden ascendente (de menor a mayor): < 8

En orden descendente (de mayor a menor): 16 >

Habilitar JavaScript

Caso de estudio

Escribe las siguientes informaciones utilizando las desigualdades: (comprueba las soluciones)
  1. He sacado en el último control de matemáticas, al menos un 7.
  1. La tarifa de mi móvil es plana desde las 10 de la mañana hasta las 6 de la tarde.
  1. La edad del seleccionador español Vicente Del Bosque es 59 años, cifra que supera las edades de Busquet y Javi Martínez (ambos tienen 21)
  1. Como todo el mundo sabe el valor del número real es menor que 4.

Importante

Propiedades de las desigualdades

Sean a, b y c tres números reales.

  1. Si a<b, entonces a+c<b+c para cualquier número c.
  2. Si a<b, entonces a·c<b·c para cualquier número c>0.
  3. Si a<b, entonces a·c>b·c para cualquier número c<0.

Las desigualdades no se comportan igual que las igualdades cuando multiplicamos ambos términos por un mismo número.

Las propiedades de arriba pueden enunciarse de la siguiente manera:

- Si a los dos miembros de una desigualdad se le suman o restan un número positivo, la desigualdad no cambia de sentido.

- Si a los dos miembros de una desigualdad se le suman o restan un número negativo, la desigualdad no cambia de sentido.

- Si se multiplican o dividen por un número positivo los dos miembros de una desigualdad, entonces la desigualdad no cambia de sentido.

- Si se multiplican o dividen por un número negativo los dos miembros de una desigualdad, entonces se invierte y cambia de sentido.

Veamos gráficamente qué significan estas propiedades:

Balanzas para suma
Fuente propia realizada bajo Dominio público

Comprueba lo aprendido

¿Te has parado a pensar cómo se comportan las desigualdades numéricas cuando se someten a variaciones (aumento, disminución, ...)? Enseguida lo vas a descubrir.

Pregunta 1

¿Qué ocurre si aumenta la temperatura 2 ºC en Moscú y en Roma? ¿Sigue haciendo más frío en Moscú que en Roma?

Pregunta 2

Si disminuye 2 ºC la temperatura en ambas ciudades, podemos afirmar ahora que hace más frío en Roma que en Moscú.

Pregunta 3

Si se triplica la temperatura en ambas ciudades, hará más calor en Moscú que en Roma.

Pregunta 4

En las noticias, dan el siguiente titular:
"Hoy 15 de Diciembre, se aprecian los efectos del cambio climático en las temperaturas de ciertas capitales europeas. Se ha invertido la situación, Moscú presenta una temperatura atípica para estas fechas con 10 ºC. Al mismo tiempo una ola de frío se encuentra situada sobre Roma donde se han alcanzado temperaturas de - 16 ºC".
Por tanto, podemos afirmar que ahora sí que hace más calor en Moscú que en Roma.

Caso de estudio

Vamos a estudiar cómo se comporta el orden de los números reales y la suma. Para ello, vamos a realizar varios ejercicios, de manera que sumemos tanto números positivos como negativos a una desigualdad, para comprobar si se mantiene la desigualdad una vez hayamos realizado la suma.
Aplica a la desigualdad 3< 5, las siguientes transformaciones.

 

  1. Suma 2 a cada uno de los miembros de la desigualdad y comprueba si es cierta.
  2. Suma ahora 1,72 a cada miembro y comprueba.
  3. Suma esta vez -5 a cada miembro, y verifica si se mantiene la desigualdad.

Una vez realizado los tres apartados, debes llegar a una conclusión, y activar la opción "Ver solución" para comprobar que estás en lo cierto.

Caso de estudio

A continuación te proponemos una serie de ejercicios que te deben llevar a descubrir dos propiedades de las desigualdades. Lo que debes hacer es multiplicar (o dividir) los dos miembros de una desigualdad, y comprobar si se mantiene o no.
Dada la siguiente desigualdad: 2 < 5. Realiza:
  1. Multiplica los dos miembros por 3, y comprueba si se mantiene la desigualdad.
  2. Multiplica ahora por 4,5 y vuelve a comprobar.
  3. Multiplica esta vez por 1/2, o lo que es lo mismo, divide por 2 ambos miembros, y comprueba la desigualdad.

Una vez hayas hecho los tres apartados y hayas llegado a una conclusión, pincha en "Ver solución" y comprueba.

Veamos ahora que ocurre cuando multiplicamos por un número negativo. Sea la desigualdad: 2 < 4. Realiza:
  1. Multiplica por -1, y comprueba a ver si se mantiene la desigualdad o se obtiene otra distinta.
  2. Multiplica ahora por -4, y vuelve a comprobar.
  3. Divide ahora por -2, a ver que ocurre.

Cuando hayas llegado a una conclusión, pincha en "Ver solución", y obtén la propiedad adecuada.