2. Monotonía (crecimiento, decrecimiento)

El crecimiento y el decrecimiento de una función es algo que ya hemos estudiado antes ¿lo recuerdas? Básicamente una función es creciente si, al aumentar la variable independiente, x, también aumenta el valor de la función, f(x). Es decreciente, si al aumentar el valor de x, disminuye el de f(x). No olvides que las gráficas se "leen" de izquierda a derecha.

 

Veamos un ejemplo real: las siguientes gráficas representan la velocidad y la aceleración de un coche. Si te fijas en la primera gráfica, la velocidad aumenta hasta el minuto 10 y comienza a disminuir desde entonces.
Mira ahora la gráfica de la aceleración ¿qué ocurría hasta el minuto 10? Que la aceleración era positiva (pues su gráfica queda por encima del eje de abscisas), y si la aceleración es positiva quiere decir que el coche acelera y por tanto su velocidad aumenta.
 
A partir del minuto 10, la aceleración es negativa (su gráfica queda por debajo del eje de abscisas), por tanto está decelerando y la velocidad disminuye.
 
Seguro que en física has estudiado que la aceleración es la derivada de la velocidad. Acabamos de ver una relación entre el signo de la aceleración, y el crecimiento y el decrecimiento de la velocidad. Esta misma relación se da entre cualquier función derivable, y su derivada.

Importante

Cuando hablamos de monotonía, nos estamos refiriendo al comportamiento de una función respecto a su crecimiento o decrecimiento.

Sea f una función derivable en un intervalo (a, b), entonces es:

  • Creciente en el intervalo (a,b) si en todo el intervalo (a,b)
  • Decreciente en el intervalo (a,b) si en todo el intervalo (a,b)

En la siguiente escena de geogebra tienes dos ejemplos, una función polinómica y una racional, en la que puedes comprobar que se cumple lo que acabamos de ver:

Función f(x)
Derivada f ' (x)
Creciente Positiva (con linea discontinua)
Decreciente
Negativa (con linea discontinua)

 

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Como ya hemos comentado, lo relevante del importante anterior, es que ya no es necesario dibujar la gráfica para estudiar la monotonía. A continuación tienes un ejercicio resuelto para que veas cómo hacerlo. Después hay uno que tendrás que resolver tú.

Monotonía
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AV - Actividad de Espacios en Blanco

En una empresa están teniendo pérdidas económicas, por lo que deciden poner en marcha una serie de medidas a lo largo de los próximos 6 meses con las que pretenden remontar y obtener beneficios al finalizar dicho periodo.

Según sus cuentas, los beneficios obtenidos por la empresa al poner en marcha el plan vienen dados por la función , donde x es el número de meses.

Vamos a comprobar si con este plan de medidas la empresa mejorará los beneficios. Para ello tendrás que estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de los beneficios de la empresa.

  • Función derivada:

Para comenzar, calcula la derivada de la función f(x) y completa los espacios en blanco (incluye los signos correspondientes):

f ' (x) = x x x

 

  • Obtener las raíces de la derivada:

Resuelve la ecuación f ' (x) = 0 para obtener las raíces. Como es un polinomio de grado mayor que dos, tendrás que resolver con la Regla de Ruffini.

Las soluciones son (de menor a mayor) x= , x= , x= .

 

  • Estudiar el signo de la derivada:

Hemos obtenido cuatro intervalos. Estudia el signo de la función derivada en cada intervalo:

En el intervalo (-∞, ) la derivada es (positiva/negativa) .

En el intervalo ( , ) la derivada es (positiva/negativa) .

En el intervalo ( , ) la derivada es (positiva/negativa) .

En el intervalo ( ,+∞) la derivada es (positiva/negativa) .

 

  • Estudiar la monotonía:

Teniendo en cuenta los resultados del apartado anterior, podemos decir que en (-∞, )U( , ) la función es (creciente/decreciente) , y que en ( , )U( ,+∞) la función es .

 

  • Solución del problema:
Como estamos en una situación real, donde el estudio se ha hecho para ver los resultados en 6 meses, podemos decir que la empresa comienza (disminuyendo/aumentando) beneficios. A la vista de cómo evolucionan los beneficios al finalizar los 6 meses ¿Crees que las medidas tomadas han sido efectivas? (sí/no) .

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Ahora nos interesa que observes la siguiente ventana en la que hay representada una función y la tangente en un punto cualquiera. Como recuerdas del tema anterior la pendiente de la tangente en un punto coincide con la derivada de la función en ese punto. Queremos que recorras la función y observes el signo que tiene la pendiente de la tangente cuando la función crece y cuando decrece.

 

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Caso de estudio

Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f(x) = \frac{x^2}{x+1}.

Caso de estudio

T4 de Barajas

Fotografía en INTEF. Licencia CC

A veces, contactan con la empresa de Ángela y Andrés para que se encarguen del estudio de una parte de un proyecto más grande. Eso les ocurrió cuando se construyó la nueva terminal del aeropuerto de Barajas en Madrid: la T4.

Le pidieron que hicieran un estudio sobre el recorrido de las brisas creadas por los aires acondicionados en lo que iban a ser los techos de la terminal. Para ello tenían que estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función que, inicialmente, iban a seguir las volutas del techo.

Si la función se acercaba a la de expresión f(x)=x^3-3x^2+5, halla los intervalos en los que crece y decrece.

En la siguiente escena de GeoGebra de Saúl Valverde Pérez tienes dos ejemplos, una función polinómica y una racional, en las que puedes comprobar que se cumple lo que acabamos de ver.

f(x)
función
(continua)
f ' (x)
función derivada
(discontinua)
Creciente (azul) Positiva (azul celeste)
Decreciente (rojo) Negativa (rojo)

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AV - Actividad de Espacios en Blanco

En una empresa están teniendo pérdidas económicas, por lo que deciden poner en marcha una serie de medidas a lo largo de los próximos 6 meses con las que pretenden remontar y obtener beneficios al finalizar dicho periodo.

Según sus cuentas, los beneficios obtenidos por la empresa al poner en marcha el plan vienen dados por la función

f(x) = 2x^4-24x^3+92x^2-120x+60

donde x es el número de meses.

Vamos a comprobar si con este plan de medidas la empresa mejorará los beneficios. Para ello tendrás que estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de los beneficios de la empresa.

  • Función derivada.

Para comenzar, calcula la derivada de la función f(x) y completa los espacios en blanco (incluye los signos correspondientes):

f ' (x) = x x x

 

  • Obtener las raíces de la derivada.

Resuelve la ecuación f ' (x) = 0 para obtener las raíces. Como es un polinomio de grado mayor que dos, tendrás que resolver con la Regla de Ruffini.

Las soluciones son (de menor a mayor) x= , x= , x= .

 

  • Estudiar el signo de la derivada.

Hemos obtenido cuatro intervalos. Estudia el signo de la función derivada en cada intervalo:

En el intervalo (-∞, ) la derivada es (positiva/negativa) .

En el intervalo ( , ) la derivada es (positiva/negativa) .

En el intervalo ( , ) la derivada es (positiva/negativa) .

En el intervalo ( ,+∞) la derivada es (positiva/negativa) .

 

  • Estudiar la monotonía.

Teniendo en cuenta los resultados del apartado anterior, podemos decir que en (-∞, )U( , ) la función es (creciente/decreciente) , y que en ( , )U( ,+∞) la función es .

 

  • Solución del problema.
Como estamos en una situación real, donde el estudio se ha hecho para ver los resultados en 6 meses, podemos decir que la empresa comienza (disminuyendo/aumentando) beneficios. A la vista de cómo evolucionan los beneficios al finalizar los 6 meses ¿Crees que las medidas tomadas han sido efectivas? (sí/no) .

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