4. Introducción a la Probabilidad

Importante

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Pensando en la prueba...

La probabilidad es un tema muy recurrente en la prueba. Además, los ejercicios de los últimos años recorren muchos de los conceptos que hemos trabajado en el tema: trabajo con experimentos compuestos, operaciones con sucesos, reconocimiento de las peculiaridades de los distintos tipos de sucesos (incompatible, independiente...).

Por ello, es conveniente que manejes tanto los conceptos, como la nomenclatura y las fórmulas con mucha soltura.

Al enfrentarnos a una nueva disciplina, siempre debemos prestar mucha atención al vocabulario básico que se maneja, de esta forma podemos ahorrarnos futuros problemas. En la siguiente presentación puedes recordar conceptos como: experimento aleatorio, espacio muestral y suceso. Además, aprovechamos para recordarte los tipos de sucesos, las posibles relaciones existentes entre ellos, y las operaciones básicas, así como las leyes de Morgan. Todo ello acompañado de un recurso que te ayudará visualmente a entender estas operaciones y propiedades.

 
Sucesos. Haz clic para ver

Recurso de José Ireno Fernández Rubio, Mª José García Cebrian en Red Educativa Digital DESCARTES. Licencia CC

Históricamente se han usado distintas formas de asignar la probabilidad:

  1. Probabilidad clásica o de Laplace: La probabilidad de un suceso consistiría en dividir el número de casos favorables entre el número de casos posibles. Esta definición teórica de probabilidad es útil en los experimentos aleatorios de tipo finito, cuando es posible obtener el número de casos favorables y el número de casos posibles y estos son igualmente probables.

  2. Probabilidad frecuentística o empírica: Consiste en tomar como medida de la probabilidad de un suceso la frecuencia relativa con la que este aparece. Hay personas que en los juegos de azar llevan una estadística de los resultados que se van obteniendo y toman las frecuencias relativas como sinónimo de probabilidad.

  3. Probabilidad subjetiva: algunas personas asignan probabilidades de forma subjetiva, por ideas preconcebidas y carentes de toda lógica. Así se dice que si el año pasado el premio de la lotería navideña acabó en 5 este año es mejor coger números que no acaben en 5.

Todas estas asignaciones de probabilidad tienen algo en común: la probabilidad de un suceso es un número entre 0 y 1 (aunque a veces aparezca como un porcentaje), una medida de la frecuencia con la que consideramos que tal suceso ocurrirá.

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En un experimento con resultados equiprobables, la probabilidad de un suceso es el cociente entre el número de resultados favorables al suceso partido por el número de resultados posibles del experimento, es decir, el número de sucesos elementales. Este resultado se conoce como Regla de Laplace.

Probabilidad

Recurso de José Ireno Fernández Rubio, Mª José García Cebrian

en Red Educativa Digital DESCARTES. Licencia CC

Si haces clic en la imagen de la izquierda, verás como se calculan algunas probabilidades utilizando esta definición, a través de un applet del Proyecto Edad.

Observa esos ejemplos y fíjate en que siempre conocemos el espacio muestral asociado al experimento. Pero, ¿qué ocurre cuando partimos de otras probabilidades o de experimentos compuestos donde es más difícil determinar el espacio muestral?

En la primera situación debemos tener en cuenta la relación existente entre los sucesos de los que conocemos la probabilidad, y entre aquellos en los que la desconocemos. Para ello, es conveniente que recuerdes las siguientes fórmulas:

Probabilidad del suceso imposible  
Probabilidad del complementario
Probabilidad de la unión sucesos incompatibles
Probabilidad de la unión
Probabilidad condicionada (A sabiendo B)
Probabilidad de la intersección sucesos independientes

 

En la segunda situación abordamos aquellos experimentos en los que cada prueba equivale a la realización conjunta de varias pruebas simples, ya sea simultánea o sucesivamente.

La probabilidad de un suceso de un experimento compuesto se calcula a partir de las probabilidades de los sucesos simples que lo forman. Para calcular la probabilidad de un suceso de un experimento compuesto se pueden usar varios métodos.

Uno de estos métodos consiste en usar los diagramas en árbol. En el diagrama, en cada paso, vamos escribiendo las probabilidades de los experimentos simples que componen nuestro experimento compuesto. Se observa el camino de las ramas que nos conducen a la solución. El producto de las probabilidades de las ramas de dicho camino será la probabilidad del suceso solución.

Probabilidad compuesta

En los siguientes ejercicios resueltos de pruebas de años anteriores, se trabajan ambas situaciones:

Caso de estudio

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Curso 2011/2012

Sean A y B dos sucesos incompatibles de un espacio muestral cuyas probabilidades son P(A)=0,25 y P(B)=0,35. Calcule P(A∩B), P(AUB) y P(Ac∩B)


Caso de estudio

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Curso 2010/2011

De una caja que contiene 2 bolas rojas, 3 blancas y 1 negra, se extraen al azar dos bolas, sucesivamente y sin reemplazamiento, y se observan sus colores en el orden en el que se extraen.

a) Describa el espacio muestral de este experimento aleatorio.

b) Halle la probabilidad de que la primera bola extraída sea roja.

c) Halle la probabilidad de que las dos bolas sean del mismo color.


Caso de estudio

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Curso 2009/2010

Se lanzan simultáneamente dos dados cuyas caras están numeradas del 1 al 6. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de las dos caras sea 12?