5. Variables aleatorias discretas

Importante
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Pensando en la prueba...
Como ya habrás visto en el tema, no disponemos de actividades sobre estos contenidos en las pruebas de años anteriores. Pero también es cierto que la prueba de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales tiene pocos años de existencia. Por este motivo no debemos confiarnos y dejar a un lado el trabajo con la binomial, que una vez que le tomemos el pulso puede resultar bastante sencillo.
Se llama variable aleatoria a cualquier función numérica definida sobre el espacio muestral. Supongamos, por ejemplo, que lanzamos 6 monedas. El número de caras obtenidas se consideraría una variable aleatoria que podría tomar los valores 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Las variables aleatorias se pueden clasificar en función de los valores que pueda tomar:
- Diremos que una variable aleatoria es discreta si los valores que toma son números enteros. Por ejemplo, el número de caras obtenidas.
- Llamaremos variable aleatoria continua a la que toma valores en un intervalo de números reales. Por ejemplo, la duración de una llamada.
La probabilidad de que una variable aleatoria tome el valor
es la suma de las probabilidades de aquellos sucesos elementales en los que el resultado es
. La manera como se reparten las probabilidades para los distintos valores de
se llama distribución de probabilidad de la variable aleatoria.

Importante
Llamaremos distribución de una variable aleatoria discreta al conjunto formado por los valores que toma
y de las probabilidades de que ocurran cada uno de ellos
.
Estas probabilidades, , también reciben el nombre de función de probabilidad, y cumplen las siguientes propiedades:
-
Son siempre positivas, es decir
.
- La suma de todas es igual a 1.

Caso de estudio
Realizamos el experimento aleatorio de sacar dos cartas de una baraja española con reemplazamiento, y definimos la siguiente variable aleatoria = "número de oros que obtenemos".
Contesta a las siguientes cuestiones:
- Describe los valores
que puede tomar la variable
.
- Determina el espacio muestral, E.
- Calcula la función de probabilidad,
, de la variable
.

Importante
En una variable aleatoria discreta , definiremos la función de distribución asociada a ella como:
que asocia a cada número , la probabilidad acumulada hasta él.
A continuación, vamos a definir dos distribuciones discretas.
Distribución de Bernoulli
Si en un experimento aleatorio únicamente nos interesara si ha ocurrido o no un determinado suceso , de probabilidad
, podríamos definir una variable aleatoria
que asignara el valor 1 (E=éxito) a cada elemento de
y 0 (F=fracaso) si el elemento no pertenece a
.
La función de probabilidad de dicha variable aleatoria, llamada distribución de Bernoulli sería:
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En la experiencia del ejercicio resuelto anterior, podemos considerar el éxito como sacar dos oros, por tanto y la distribución será
.
Sus parámetros son:
- Esperanza matemática:
.
- Varianza:
.
- Desviación típica:
Distribución Binomial
Al repetir veces un mismo experimento de Bernoulli el número de éxitos
define una variable aleatoria que puede tomar los valores
.
La distribución de probabilidad de dicha variable se llama distribución Binomial y se designa por
donde
es el número de veces que se repite el experimento y
la probabilidad de éxito de la distribución de Bernoulli.

Importante
Diremos entonces que una distribución es binomial, si cumple las siguientes características.
- Es un experimento aleatorio que se repite
veces de modo independiente.
- Cada vez que se realiza el experimento solo pueden darse dos sucesos al estilo de la Bernoulli, éxito o fracaso.
- La suma de las probabilidades del éxito y fracaso debe ser 1. Normalmente
es la probabilidad del suceso éxito, y
la del suceso fracaso. La distribución la denotaremos por
es
.
Su función de probabilidad es:
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donde es el número de éxitos de los queremos conocer la probabilidad. Por tanto
puede tomar los valores
.
Nota: Te recordamos que representa el número combinatorio de
sobre
.
Si es una variable aleatoria binomial,
, tendremos que:
- Su esperanza matemática o media es
.
- La varianza es
.
- Y la desviación típica es la raíz cuadrada de la varianza
.