1. Sucesiones

Importante
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Pensando en la prueba...
Como ya habrás descubierto, este tema está íntimamente relacionado con números y funciones, por lo que se hace imprescindible que hayas adquirido soltura en el manejo de ambos conceptos.
Respecto al examen, hasta la fecha es frecuente encontrarnos con actividades relacionadas con las progresiones aritméticas y geométricas, destacando también apartados en los que se trabaja con el interés simple y compuesto.
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Imagen en Flickr de Eva the Weaver bajo CC |
Una sucesión numérica es todo conjunto ordenado de números reales:
Cada uno de los elementos de la sucesión se llama término. Como puedes ver, se utilizan los subíndices para conocer el lugar que ocupa cada término en la sucesión.
Se llama término general al que ocupa el lugar indeterminado . Dicho término se expresa como
.
En muchas ocasiones, los términos de las sucesiones se pueden determinar a partir de cierto criterio, este criterio se denomina regla de formación.
Es decir, estas reglas de formación nos ayudan a definir la sucesión, para lo que podemos usar cualquiera de estos métodos:
- Descriptivo. Consiste en describir mediante alguna propiedad, o dando algunos elementos de la sucesión para deducir dicha propiedad (por ejemplo, la sucesión de los números pares).
- Analítico. Al igual que ocurre con las funciones, una sucesión puede en ocasiones venir expresada por una fórmula de tipo algebraico, como
. No siempre es posible calcular el término general de una sucesión, como ocurre con los números primos.
- Recurrente. En él a partir de un determinado término, los demás términos de la sucesión son definidos a partir del anterior o anteriores. Este tipo de sucesiones se llaman también recurrentes (por ejemplo,
).
Estos métodos para definir las sucesiones, en ocasiones también nos sirven para clasificarlas.
Por ejemplo, si tenemos una sucesión definida de forma recurrente de tal manera que cada término, exceptuando el primero, es la suma del anterior más una cantidad fija (diferencia), estamos ante una sucesión o progresión aritmética. En cambio, si se obtiene como el producto del término anterior por una cantidad fija (razón), estamos antes una progresión geométrica.
En el siguiente cuadro puedes ver un resumen de las características más importantes de este tipo de progresiones:
Progresión |
Definición |
Término general |
Suma de los n términos |
Suma de los infinitos términos |
Aritmética |
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Geométrica |
|
|
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Una de las aplicaciones más importantes de este tipo de sucesiones es de carácter financiero, y es que cuando queremos obtener el capital final a partir de un capital inicial y un interés, este puede calcularse utilizando una de las fórmulas anteriores. Solo tenemos que saber si estamos ante un interés simple o un interés compuesto.
- El interés simple se calcula y se paga sobre un capital inicial que permanece invariable, es decir, es siempre la misma cantidad (capital inicial) la que produce intereses.
- En el interés compuesto en cambio, los intereses que se obtienen al final de cada período de inversión no se retiran sino que se reinvierten o añaden al capital inicial.
Si llamamos al capital inicial que depositamos o solicitamos al principio, y
al capital final que obtenemos al cabo de un tiempo
, conociendo el interés
en tanto por ciento, podemos expresar este capital final de la siguiente forma:

Todos estos conceptos podemos resumirlos en el siguiente esquema:
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Caso de estudio
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Curso 2009/2010
a) En una progresión aritmética de 20 términos, el primero es 5 y el décimo 32. Halla su razón y la suma de sus primeros 20 términos.
b) Un banco concedió a una empresa un préstamo a un interés compuesto del 6 % durante 5 años y al cabo de ese tiempo el interés acumulado es de 3.382,25 €. ¿Qué capital prestó el banco a la empresa?

Caso de estudio
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Curso 2010/2011
a) Sabiendo que el primer término de una progresión aritmética es 30 y el cuarto es 39, halla la diferencia de la progresión y la suma de sus primeros 25 términos.
b) Hace cuatro años se depositó una cantidad de dinero en una cuenta de ahorro, a un interés compuesto, con un rédito del 4 % anual. Si el capital obtenido finalmente es de 6.424,22 euros, calcule el capital inicial que se depositó y los interes totales que ha producido en los 4 años.

Caso de estudio
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Curso 2011/2012
Una persona coloca 20.000 € en un producto de inversión que ofrece una rentabilidad anual del 2 % de interés compuesto durante 3 años. Determina los intereses producidos cada año y el capital final obtenido al acabar el plazo previsto.