1.1. Fundamentos
Definición.
Es una transformación geométrica basada en la proporcionalidad inversa.
Dos magnitudes son inversamente proporcionales si ambas varían en sentido inverso, es decir, si una aumenta, la otra debe de disminuir, y viceversa. Su producto permanece constante.
Actividad
La Potencia de un punto conocido P respecto de una circunferencia dada de centro O es el producto constante de los segmentos determinados por cualquier cuerda trazada a la circunferencia desde dicho punto P.
PA x PA' = PB x PB' = K2 (CONSTANTE).
En la imagen de la izquierda queda demostrado todo lo anterior.
Puedes comprobarlo descargando este archivo en formato dxf, ábrelo con el programa de CAD (Qcad) y mediante la herramienta de medidas (menú acotar, menú magnitudes) comprueba lo siguiente: PA x PA' = PB x PB' = K2 Después traza varias rectas secantes desde el punto dado P y vuelve a medir los segmentos que acabas de determinar ¿su producto es igual a k2?
Dirígete a la página de este enlace en el que a través de una animación podrás mover los puntos (A´, P y B) para experimentar con los valores de la constante de una potencia.
Pre-conocimiento
También se puede determinar la potencia considerando el radio de la circunferencia y la distancia del punto exterior al centro.
La potencia será el cuadrado de la distancia del punto exterior al centro de la circunferencia menos el radio de la misma.
PT2 = PD x PD' = (m - n) (m + n) = m2 - n2. PT2 = d2 - r2
Puedes comparar la imagen de la izquierda con la anterior.
También puedes comprobarlo descargando este archivo en formato dxf, procede de la misma manera que en el caso anterior.
Circunferencias coaxiales.
Son aquellas circunferencias que tienen un eje radical común. Todas ellas forman un haz, y sus centros están situados en una recta perpendicular a su eje radical.
En la siguiente animación puedes ver como todas las circunferencias que pasan por los puntos dados P y Q, tienen sus centros dispuestos en la mediatriz del segmento PQ, siendo este la secante común a todas las circunferencias coaxiales.
Observa cómo todos los segmentos tangentes a dichas circunferencias, trazadas desde un punto arbitrario (A) tienen la misma longitud, lo que significa que la potencia es la misma.
DT2 U1 T3 Apdo. 1.1: circunferencias coaxiales
Video del Departamento de DIBUJO IEDA alojado en Youtube
Determinar la media proporcional de dos segmentos aplicando potencia.
El curso pasado aprendimos a determinar la media proporcional de dos segmentos mediante dos métodos: el teorema de la altura y el del cateto.
Ahora vamos a ver cómo obtenerlo aplicando potencia, en la animación inferior te mostramos el procedimiento.
Objetivos
La potencia de un punto respecto de una circunferencia variará según la posición que ocupe respecto de la curva, pudiendo ser: positiva, negativa o nula.
En el siguiente video puedes una explicación más detallada de la explicación de la potencia. Además podrás ver los distintos casos de potencia, dependiendo de la situación del punto:
- Cuando el punto es exterior: los triángulos desde P a la circunferencia (ABA´y BAB´) son semejantes, puesto que tienen un lado común (AB) y dos ángulos iguales (ángulo AA´B=AB´B).
- Cuando el punto es interior: al ser los segmentos PB y PA positivos y los segmentos PB´y PA´negativos, la potencia será siempre negativa.
- Cuando el punto es concíclico (pertenece a la circunferecnia): la potencia será nula.
Determinar la "sección áurea" de un segmento aplicando potencia.
También podemos determinar mediante potencia, como en el caso de la media proporcional, la sección áurea de un segmento.
En la siguiente animación puedes ver cómo se obtiene la sección áurea de un segmento dado.
Observa los segmentos obtenidos y podrás comprobar que:
- El segmento AC es la sección áurea de del dado AB.
- El segmento dado AB es la sección áurea del segmento AD.
Caso de estudio
Trazado de un decágono mediante potencia.
En el curso anterior estudiamos un método particular para dividir una circunferencia en cinco y diez partes iguales, de tal manera que podíamos trazar un pentágono y un decágono inscrito en ella.
El tema 1 de esta unidad vimos que el lado del pentágono es la sección áurea de su diagonal.
Relacionando todo lo anterior podemos deducir que la sección áurea de un pentágono equivale al lado de un decágono.
En la imagen inferior puedes ver cómo se ha dibujado un decágono a partir del lado de un pentágono.
Material necesario:
- Lápiz blando y duro.
- Compás.
- Plantilla de dibujo (escuadra y cartabón).
- Hojas para realizar trazados de prueba.
| Para realizar este ejercicio debes descargar este documento pdf. |