2.1. Forma binómica
Importante
Llamaremos número complejo z a todo número de la forma a+bi, siendo "a" la parte real y "bi", la parte imaginaria. A la forma a+bi se la conoce como forma binómica de un número complejo. El conjunto de todos los números complejos se designa por C.
Ejemplo
Los números 3+4i, -2+2i, ,
son números complejos.
Los números imaginarios pueden ser considerados números complejos cuya parte real es cero, así por ejemplo: 2i=0+2i, -i=0-i, 4i=0+4i, etc. A partir de ahora solo hablaremos de números complejos.
Para representar gráficamente números reales o conjuntos de números reales, se usa la recta numérica, que tiene sólo una dimensión. Sin embargo, los números complejos (z=a+bi) al tener dos componentes para representarlos utilizamos lo que se conoce como plano complejo, en el cual cada punto del mismo es un número complejo. Para representar el número complejo a +bi, en primer lugar definimos en este plano dos ejes, un eje real para la parte real, y un eje imaginario para la parte imaginaria, a continuación marcamos el punto que viene dado por el par ordenado de números (a, b), tal como se muestra en la imagen de la derecha.
En esta imagen también podrás ver una flecha azul, esta figura es la representación gráfica de un vector, en la unidad dedicada a Geometría estudiarás los vectores en detalle, de momento lo que te interesa saber es que, geométricamente hablando, un vector es un segmento orientado, dotado de dirección (la recta donde se puede considerar situado el vector), sentido (el que marca la flecha) y módulo (longitud del vector). Un vector viene dado por sus coordenadas, que en el caso de la imagen de la derecha es (a,b). Un número complejo también puede ser considerado como un vector del plano, como vamos a ver más abajo.
La siguiente escena de Geogebra te muestra el plano complejo y la representación en el mismo, como un punto azul de coordenadas (4,3), del número complejo z=4+3i, este número también se puede considerar un vector (en negro) de las mismas coordenadas, cuyo módulo (longitud) viene dado por , en nuestro caso
.Si en la escena mueves el punto azul por el plano podrás ver distintos números complejos asociados al mismo, con su representación gráfica y el módulo del vector que le corresponde.
Importante
Llamaremos módulo del número complejo z=a+bi al módulo del vector v=(a,b), es decir:
donde tomamos la raíz positiva.
Se llama opuesto del número complejo z=a+bi al número complejo -a-bi que designaremos por -z.
Se llama conjugado del número complejo z=a+bi al número complejo a-bi, que designaremos por .
Comprueba lo aprendido
Ejercicio Resuelto
Halla el módulo de los siguientes números complejos.
a) 2+3i
b) 1-2i
c) 4+5i