2.2. Suma y producto de números complejos en forma binómica

Con los números complejos podemos realizar las operaciones aritméticas básicas, lo mismo que con cualquier otro tipo de número.

Importante

Dados dos números complejos z=a+bi, w=c+di, definimos la suma z+w como el nuevo número complejo (a+c)+(b+d)i.

Ejemplo

Si tenemos los números complejos z=4+3i, w=2-i, su suma z+w sería: z+w=(4+2)+(3-1)i=6+2i.

La suma de números complejos cumple las siguientes propiedades:

Asociativa

Existencia de elemento neutro

Existe un número complejo 0=0+0i, tal que para todo número complejo z se tiene que z+0=0+z=z.

Existencia de elemento opuesto

Para cada número complejo z existe otro número complejo, -z, tal que:

z+(-z)=(-z)+z=0

Conmutativa

Dados dos números complejos z y w se cumple:

z+w=w+z

En el siguiente applet de Geogebra  puedes practicar la suma de números complejos. Mueve los puntos z1 y z2 para variar los números complejos.

Veamos un ejemplo de operaciones con números complejos:

Vídeo de lasmatematicas.es alojado en Youtube

Importante

El producto del número real por el número complejo z=a+bi es el número complejo , es decir.

Ejemplo

Dado z=2-3i hallar 4z.

Ejercicio Resuelto

Dados dos números complejos z=a+bi y w=c+di, el producto de los mismos se realiza de la siguiente forma, teniendo en cuenta que .

Ejemplo

Dados z=2-3i y w=3+3i hallar .

El producto de dos números complejos cumple las siguientes propiedades.

Asociativa

Conmutativa

Existencia de elemento neutro

Existe un número complejo, el 1=1+0i, tal que para todo número complejo z se tiene que .

Existencia de elemento simétrico (inverso)

Para todo número complejo existe otro número complejo, que designamos por , tal que .

Distributiva respecto de la suma

En el siguiente applet de Geogebra de  Ana Guadalupe Del Castillo puedes practicar el producto de números complejos. Mueve los puntos z1 y z2 para variar los números complejos.

Ejercicio Resuelto

Realiza las siguientes operaciones.