2.3. Cociente y potencias de números complejos en forma binómica

El producto de un número complejo z por su conjugado siempre es un número real, es decir:

Además se observa que . Este último resultado nos va a servir para definir el cociente de dos números complejos.

Importante

Dado los números complejos su cociente es:

En el siguiente applet de Geogebra de Ana Guadalupe Del Castillo puedes practicar el cociente de números complejos. Mueve los puntos z1 y z2 para variar los números complejos.

Ejercicio Resuelto

Dados   halla   .

Antes de ver cómo se calculan las potencias de un número complejo hemos de estudiar las sucesivas potencias de i.

Se observa que las sucesivas potencias de i se repiten después de cuatro pasos, proporcionando tan sólo cuatro valores distintos, i, -1, -i y 1. Como , se tiene que ,cualquiera que sea el número natural k. Para calcular bastará expresar el exponente como 4k+r, siendo k un entero no negativo y el resto r es 0,1,2 ó 3. Por tanto:

Y este número será i, -1, -i ó 1, según que r sea 1,2,3 ó 0.

Ejercicio Resuelto

Halla las siguientes potencias de i.

Importante

Sea z=a+bi, para calcular , siendo n un número natural, emplearemos la fórmula del binomio de Newton.

En el siguiente applet de Geogebra de Ana Guadalupe Del Castillo puedes practicar la potencia de un número complejo.

Ejercicio Resuelto

Calcular .

Curiosidad

Existen otras formas de expresar un número complejo: forma trigonométrica y forma polar, que veremos en el último bloque de este curso, ya que se precisan algunos conocimientos de geometría plana.

Dada la complejidad que presenta el cálculo de la raíz de un número complejo en forma binómica, esta operación también se verá más adelante aplicando el Teorema de Moivre, cuando demos la forma trigonométrica de un número complejo.