2.2. Suma y producto de números complejos en forma binómica
Con los números complejos podemos realizar las operaciones aritméticas básicas, lo mismo que con cualquier otro tipo de número.
Importante
Dados dos números complejos z=a+bi, w=c+di, definimos la suma z+w como el nuevo número complejo (a+c)+(b+d)i.
Ejemplo
Si tenemos los números complejos z=4+3i, w=2-i, su suma z+w sería: z+w=(4+2)+(3-1)i=6+2i.
La suma de números complejos cumple las siguientes propiedades:
Asociativa
Existencia de elemento neutro
Existe un número complejo 0=0+0i, tal que para todo número complejo z se tiene que z+0=0+z=z.
Existencia de elemento opuesto
Para cada número complejo z existe otro número complejo, -z, tal que:
z+(-z)=(-z)+z=0
Conmutativa
Dados dos números complejos z y w se cumple:
z+w=w+z
En el siguiente applet de Geogebra puedes practicar la suma de números complejos. Mueve los puntos z1 y z2 para variar los números complejos.
Veamos un ejemplo de operaciones con números complejos:
Vídeo de lasmatematicas.es alojado en Youtube
Importante
El producto del número real por el número complejo z=a+bi es el número complejo
, es decir.
Ejemplo
Dado z=2-3i hallar 4z.
Ejercicio Resuelto
Dados dos números complejos z=a+bi y w=c+di, el producto de los mismos se realiza de la siguiente forma, teniendo en cuenta que .
Ejemplo
Dados z=2-3i y w=3+3i hallar .
El producto de dos números complejos cumple las siguientes propiedades.
Asociativa
Conmutativa
Existencia de elemento neutro
Existe un número complejo, el 1=1+0i, tal que para todo número complejo z se tiene que .
Existencia de elemento simétrico (inverso)
Para todo número complejo existe otro número complejo, que designamos por
, tal que
.
Distributiva respecto de la suma
En el siguiente applet de Geogebra de Ana Guadalupe Del Castillo puedes practicar el producto de números complejos. Mueve los puntos z1 y z2 para variar los números complejos.
Ejercicio Resuelto
Realiza las siguientes operaciones.