2. Variable continua
¿Recuerdas que al empezar los temas de estadística dividíamos las variables estadísticas en dos tipos, discretas y continuas?
Así por encima, las variables discretas eran las que tomaban valores aislados mientras que las continuas eran las que podían tomar cualquier valor entre dos concretos.
Pues bien, en el cálculo de probabilidades ocurre lo mismo. Ya en el tema anterior has visto que muchos experimentos aleatorios se pueden transformar en variables aleatorias, siempre que el resultado del experimento se pueda expresar mediante un número, pero en todos los casos que vimos, las variables que nos salían eran discretas. Sólo podían tomar algunos valores. Pero, esto no siempre es así, ¿no?
Imagínate que al azar elijo la primera persona que se me cruza por la calle, y me pregunto: ¿cuánto medirá?
Imagen de MoteOo en Pixabay. Pixabay License
Las respuestas podrían ser muchas. Infinitas incluso. Bueno, pues ejemplos como éste, nos van a llevar al concepto de variable aleatoria continua.
Importante
Una variable aleatoria es continua si al realizar el experimento aleatorio, entre cada dos valores, el número de valores que puede tomar es infinito.
Por ejemplo, la altura de una persona, la longitud del dedo índice, el peso de un perro, el caudal de un río...
La media, , y la desviación típica,
, indican los mismos parámetros que en las distribuciones estadísticas. La media indica el centro de gravedad de la distribución y la desviación típica la medida de dispersión.
Caso práctico
Imagínate que hemos recogido los datos de la altura de 50 personas y los hemos anotado en esta tabla:
1,65 | 1,84 | 1,57 | 1,77 | 1,70 | 1,54 | 1,94 | 1,65 |
1,63 | 1,79 | 2,00 | 1,83 | 1,53 | 1,85 | 1,53 | 2,06 |
1,97 | 1,67 | 2,01 | 2,02 | 1,62 | 1,91 | 1,90 | 1,52 |
2,03 | 1,98 | 2,05 | 1,71 | 1,72 | 1,89 | 2,05 | 1,99 |
2,06 | 1,87 | 2,01 | 1,96 | 1,98 | 1,87 | 1,78 | 1,60 |
1,63 | 1,82 | 1,85 | 2,09 | 1,92 | 1,78 | 1,78 | 1,53 |
1,98 | 1,91 |
¿Cuál sería la probabilidad de que al elegir una persona al azar, ésta mida 1,81 m? ¿Y 1,73 m?
Claro dirás, coge algún valor de la tabla. Pues de acuerdo, vamos a coger uno. ¿Cuál es la probabilidad de que al elegir una persona al azar ésta mida 1,92 m? ¿Y 1,77 m? ¿Y 1,63 ?
Importante
Si X es una variable aleatoria continua, la probabilidad de que tome un valor concreto es cero.
P[X = a] = 0, para cualquier valor de a.
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Si en lugar de preguntarnos por valores sueltos nos preguntamos por la probabilidad de un grupo ya la cosa cambia.
Fíjate, en la imagen de la derecha hemos agrupado los mismos datos de la tabla de arriba en intervalos de 10 centímetros de amplitud.
Ahora sin mucha dificultad, podemos calcular la probabilidad de que al elegir una persona al azar ésta esté entre 1,70 y 1,80; sería 7/50.
O la probabilidad de que una persona mida menos de 1,80; sería 21/50.
Si te fijas, estas probabilidades son en realidad las frecuencias relativas, así que en lugar de este gráfico vamos a usar el de las frecuencias relativas.
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Pues bien, en una variable aleatoria continua, las probabilidades se calculan a través de la llamada función de densidad, función que juega un papel similar al polígono de frecuencias, y éstas se van a calcular como el área del recinto que está bajo esta curva.
En este ejemplo que estamos viendo, la función de densidad sería la función dibujada en rosa:
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Aunque a decir verdad, la función de densidad es el polígono de frecuencias que surge cuando tomamos intervalos muy muy pequeñitos, es decir, con una amplitud muy pequeña.
Importante
En una variable aleatoria continua, las probabilidades que calculamos están siempre asociadas a intervalos.
Si X es una variable aleatoria continua, la probabilidad de que X esté en un intervalo es el área del recinto limitado por el intervalo y la función de densidad (o función de probabilidad).
debe ser siempre mayor o igual que cero y el área debajo de su gráfica tiene que ser 1.
En el caso de tener una variable aleatoria continua X, ya hemos visto que las probabilidades de valores concretos son 0. Así, al describir un intervalo, no influye que la desigualdad sea estricta o no para calcular la probabilidad.
P (X ≤ a) = P (X < a)
P (a< X < b) = P (a ≤ X < b) = P (a < X ≤ b) = P (a ≤ X ≤ b)
Imagen de elaboración propia
Se define la función de distribución, F(x), como: F(x)= P [X≤ x]
Comprueba lo aprendido
Retroalimentación
Verdadero
Estás calculando la probabilidad de un valor concretoRetroalimentación
Falso
No tiene porqué. Depende de los valores de X.Retroalimentación
Verdadero
Claro, ten en cuenta que la probabilidad máxima o total es 1, que es la probabilidad de todo el espacio muestral.Retroalimentación
Verdadero
Sólo tienes que revisar el último apartado "Importante"Retroalimentación
Falso
Cómo mínimo tiene que estar sobre el eje OX, para que el área sea cero y también la probabilidad, ¿o hay probabilidades negativas?