4. Aplicaciones

 

La distribución normal como ya hemos comentado se ajusta a un montón de situaciones y casos concretos de la naturaleza, la economía, la sociología,...
En este apartado te presentamos unas cuantas situaciones que se ajustan y se resuelven aplicando el modelo normal.
En primer lugar, en este vídeo tienes un primer ejemplo en el que la distribución normal se aplica al estudio del peso de una población:

 
 

Problema de probabilidad sobre la distribución normal.
Vídeo de lasmatematicas.es alojado en Youtube

Caso práctico

Inteligencia
Imagen de OpenClipart-Vectors en PixabayPixabay License

Ahora aplicamos la distribución normal al estudio de las capacidades intelectuales, pues uno de los indicadores más fiables, el cociente intelectual se distribuye según una ley normal:
Las puntuaciones de cociente intelectual (IQ) están distribuidas normalmente con una media de 100 y una desviación típica de 15. Mensa es una organización para personas con cociente intelectual elevado y sólo acepta a personas con un IQ mayor que 131,5. Si se elige una persona al azar, ¿qué probabilidad hay de que satisfaga el requisito que exige Mensa? Si en una ciudad viven 75000 personas, ¿cuántos podrían entrar en Mensa?

Caso práctico

En este ejemplo hablamos ahora de colesterol. La distribución normal tiene muchísimas aplicaciones en la medicina pues muchos indicadores se distribuyen según un modelo normal. En este ejemplo, vemos que el nivel de colesterol se distribuye según una normal.
En una ciudad de 300.000 habitantes el nivel de colesterol en sangre sigue una distribución normal de media 192mg/dl y varianza 144(mg/dl).

a) ¿Qué probabilidad hay de que una persona elegida al azar en esa ciudad, tenga un nivel de colesterol comprendido entre 186 y 200 mg/dl ?

b) ¿Número de personas con nivel de colesterol elevado, considerándose colesterol elevado si el nivel que presenta es superior a 235? 

c) ¿Qué nivel de colesterol podemos decir que supera 84,2% de la población adulta sana?

Comprueba lo aprendido

Pregunta

Resuelve tú ahora las siguientes cuestiones. Procede de forma similar a como lo hemos hecho en los ejemplos resuelto: en primer lugar piensa qué probabilidad hay que calcular, después tipifica y transforma la probabilidad para que puedas buscarla en la tabla.
El tiempo de vida de una bombilla sigue una distribución normal N(180, 15), donde el tiempo se mide en horas. ¿Cuál es la probabilidad de que al comprar una bombilla, luzca más de 207 horas?

Respuestas

0,8810

0,119

0,9641

0,0359

Retroalimentación

Pregunta

Un laboratorio farmacéutico prepara pastillas circulares con un diámetro medio de 12 mm y una desviación típica de 0,8 mm, pero si la pastilla fabricada tiene un diámetro inferior a 9,5 mm o superior a 14,7 mm, ésta se rechaza por no tener la cantidad adecuada de medicamento. Sabemos además que el diámetro sigue una distribución normal. ¿Cuál es la probabilidad de que al fabricar una pastilla, ésta esté en condiciones de ser utilizada?

Sugerencia

Hay que calcular P(9,5<X<14,7) Y ojo con los redondeos al tipificar.

Respuestas

0,99872

0,99877

0,00051

1,00051

Retroalimentación

Para saber más

Como ya hemos visto, la distribución normal es una distribución de probabilidad simétrica respecto a la media, concentrando la máxima probabilidad en torno también a la media μ.

Gráfico que muestra el reparto de probabilidades en intervalos en torno a la media
Imagen en Wikimedia Commons bajo CC

Pues bien sean cuales sean son parámetros de la distribución normal, siempre se cumple que los siguientes intervalos centrados en la media tienen las probabilidades que aparecen:

  • En el intervalo [μ - σ, μ + σ] se encuentra comprendida, aproximadamente, el 68,26% de la distribución. Es decir, la probabilidad de que X pertenezca a ese intervalo es del 68,26%.
  • En el intervalo [μ - 2σ, μ + 2σ] se encuentra, aproximadamente, el 95,44% de la distribución.
  • Por su parte, en el intervalo [μ -3σ, μ + 3σ] se encuentra comprendida, aproximadamente, el 99,74% de la distribución.


Estas propiedades son de gran utilidad para el establecimiento de intervalos de confianza como veremos en el próximo curso. Por otra parte, el hecho de que prácticamente la totalidad de la distribución se encuentre a tres desviaciones típicas de la media justifica los límites de las tablas empleadas habitualmente en la normal estándar.