4. Límite de una función en el infinito
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Imagen de elaboración propia |
Hasta ahora solo nos ha preocupado el límite de una función en un punto, pero también nos podemos preguntar qué ocurre con cuando
, la variable independiente, se aleja mucho del origen. Es decir, qué ocurre con
cuando
tiende a infinito. Tanto a más infinito como a menos infinito.
En la imagen de la derecha puedes ver la gráfica de una función que nos indica cómo cambia el volumen de un recipiente,
, cuando la presión en el recipiente,
, se va modificando.
¿Qué ocurre con el volumen cuando la presión se hace muy grande? Es decir, cuánto vale:
En el gráfico de la derecha podemos ver que si la presión es grande, el volumen es cada vez más pequeño, y tiende a cero. Es lógico, si x crece, decrece.
Se aprecia también que esa función tiene una asíntota horizontal en el eje de las X, es decir, .

Actividad
Si se acerca a
cuando
se hace muy grande en valor absoluto, diremos que
es el límite de
cuando
tiende a infinito.
Se expresa de la siguiente manera: .
Si tiende a infinito solo para valores positivos, diremos
tiende a más infinito. Y se escribe
. Cuando esto ocurre, la función tiene una asíntota horizontal en la recta
, para los valores positivos de
.
En el caso de que tienda a infinito solo para valores negativos, se dirá que
tiende a menos infinito. Se expresa
. Cuando esto ocurre, la función tiene una asíntota horizontal en la recta
, para valores negativos de
.
En estas dos presentaciones, puedes ver cómo se comportan en el infinito las funciones polinómicas:
Y las funciones racionales:
En las presentaciones hemos visto que el límite cuando tiende a infinito puede ser infinito. Por ejemplo, en el caso de las funciones polinómicas y algunas racionales (aquellas en las que el grado del numerador es mayor que el grado del denominador). Esto quiere decir que cuando
se hace muy grande en valor absoluto,
también crece indefinidamente en valor absoluto.

AV - Actividad de Espacios en Blanco
Si haces clic en la siguiente imagen, puedes acceder a una escena de GeoGebra en las que aparecen las gráficas y la expresión analítica de cuatro funciones que puedes ir viendo haciendo clic sobre los diferentes botones. También puedes mover el punto naranja a lo largo de la gráfica.
Completa los siguientes espacios en blanco que contienen cuestiones relacionadas con esas funciones.

Caso de estudio


Caso de estudio
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Curso 2009/2010
Dada la función
determina y representa sus asíntotas.