1.1. Interpretación gráfica de la continuidad

Imagen en Flickr por Fenanov bajo CC

Nos debería quedar claro a todos: con línea continua no se puede adelantar. Con discontinua sí se puede adelantar en el caso de que no venga ningún vehículo por el carril opuesto.

La pregunta que viene a continuación te parecerá una perogrullada: ¿cómo sabemos que la línea es continua o discontinua? Intenta explicarlo.

En este apartado haremos un primer acercamiento al concepto de continuidad de una función. Y para ello utilizaremos el formato más descriptivo que hay de expresar una función: la gráfica.

No olvidamos la pregunta que te hemos hecho. Piensa en los términos que has utilizado para definir las líneas continua y discontinua. Seguro que alguno de ellos aparece en la siguiente definición.

Una primera aproximación al concepto de continuidad, nos permite decir que una función es continua si se puede dibujar su gráfica sin levantar el bolígrafo del papel.

A esta definición se le pueden poner muchos peros que iremos aclarando a continuación.

Si haces clic en la imagen inferior, puedes acceder a una escena de GeoGebra en la que se representan de forma aleatoria las gráficas de funciones elementales. Observa con detenimiento y analiza cuáles de ellas son candidatas a ser continua, según la definición anterior.

Imagen de elaboración propia

¿Cuáles de las funciones anteriores se pueden representar sin levantar el bolígrafo del papel?

Desde luego, las afines y las cuadráticas. Por tanto son funciones continuas. Lo mismo ocurre para cualquier función polinómica, es decir, aquellas que su expresión analítica sea un polinomio.

A la vista de la gráfica de las funciones de proporcionalidad inversa, podríamos afirmar que no son funciones continuas, ya que no podemos representarlas sin levantar el bolígrafo. El número donde hay que levantar el bolígrafo es justamente donde se anula el denominador, es decir, el punto que no pertenece al dominio de la función.

Por ejemplo, para representar gráficamente la función tendríamos que levantar la mano en el punto . Podríamos decir entonces que es continua en todos los números reales menos en el 4.

Como se puede ver, tantos las funciones exponenciales como las logarítmicas son continuas. También lo son el seno y el coseno.

La función tangente no es continua, ya que es necesario levantar la mano en todos los puntos en donde el coseno se hace cero.

Las funciones definidas por partes no son continuas en aquellos puntos de separación de las partes en donde exista un salto. Y eso ocurre en todas las que aparecen en la escena anterior.