4. Límite de una función en el infinito

 

Relación presión/volumen de un recipiente
 Imagen de elaboración propia

Hasta ahora solo nos ha preocupado el límite de una función en un punto, pero también nos podemos preguntar qué ocurre con cuando , la variable independiente, se aleja mucho del origen. Es decir, qué ocurre con cuando tiende a infinito. Tanto a más infinito como a menos infinito.

En la imagen de la derecha puedes ver la gráfica de una función que nos indica cómo cambia el volumen de un recipiente, , cuando la presión en el recipiente, , se va modificando.

¿Qué ocurre con el volumen cuando la presión se hace muy grande? Es decir, cuánto vale:  

En el gráfico de la derecha podemos ver que si la presión es grande, el volumen es cada vez más pequeño, y tiende a cero. Es lógico, si x crece, decrece.

Se aprecia también que esa función tiene una asíntota horizontal en el eje de las X, es decir, .

Actividad

Si se acerca a cuando se hace muy grande en valor absoluto, diremos que es el límite de cuando tiende a infinito.

Se expresa de la siguiente manera:

 

Si tiende a infinito solo para valores positivos, diremos tiende a más infinito. Y se escribe . Cuando esto ocurre, la función tiene una asíntota horizontal en la recta , para los valores positivos de .

En el caso de que tienda a infinito solo para valores negativos, se dirá que tiende a menos infinito. Se expresa . Cuando esto ocurre, la función tiene una asíntota horizontal en la recta , para valores negativos de .

En estas dos presentaciones, puedes ver cómo se comportan en el infinito las funciones polinómicas:

 

En las presentaciones hemos visto que el límite cuando tiende a infinito puede ser infinito. Por ejemplo, en el caso de las funciones polinómicas y algunas racionales (aquellas en las que el grado del numerador es mayor que el grado del denominador). Esto quiere decir que cuando se hace muy grande en valor absoluto, también crece indefinidamente en valor absoluto.

AV - Actividad de Espacios en Blanco

Si haces clic en la siguiente imagen, puedes acceder a una escena de GeoGebra en las que aparecen las gráficas y la expresión analítica de cuatro funciones que puedes ir viendo haciendo clic sobre los diferentes botones. También puedes mover el punto naranja a lo largo de la gráfica.

 

Cuatro funciones

 

Completa los siguientes espacios en blanco que contienen cuestiones relacionadas con esas funciones.

a) Las dos funciones que no tienen ningún tipo de asíntotas son y por ser las dos funciones polinómicas (escribe sus nombres en orden alfabético).

b) g tiene una asíntota vertical en x= , y horizontal en y= .

c) El límite cuando x tiende a 2 por la izquierda de g(x) es infinito.

d) El límite cuando x tiende a menos infinito de g(x) es .

e) La única función que tiene asíntota oblicua es .

f) i tiene una asíntota vertical en x= , porque en ese punto se anula su denominador.

g) El límite cuando x tiene a 1 por la derecha de i(x) es infinito.

h) El límite cuando x tiende a menos infinito de h(x) es infinito.

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Caso de estudio

Halla las asíntotas de la siguiente función racional:

Caso de estudio

Universidades Públicas

 

Curso 2009/2010

Dada la función

determina y representa  sus asíntotas.