Resumen

Importante
Consideremos una función f(x) continua en el intervalo [a,b], existe un punto c, interior al intervalo, en el que se verifica.

La igualdad anterior equivale a decir que el valor de la integral definida coincide con el área de un rectángulo de base la amplitud del intervalo y cuya altura es el valor de la función en el punto intermedio c.
Este resultado se conoce como TEOREMA DE LA MEDIA o del Valor Medio.

Importante
La derivada de la función integral es igual a la función integrando.
Es decir, si entonces
. Esto equivale a decir que la función integral es una primitiva de la función f(x).
Este resultado se conoce como Teorema Fundamental del Cálculo.

Importante
REGLA DE BARROW
Sea f(x) una función definida en el intervalo [a,b] y sea F(x) una primitiva de dicha función. Se verifica que la integral definida, entre a y b, es igual a la diferencia de la función primitiva en los extremos del intervalo. Es decir,

Importante
Si f(x) es una función positiva en el intervalo [a,b], el área encerrada por la curva f(x) y el eje x es la integral

Importante
Para calcular el área comprendida entre el eje x y la función f(x) en el intervalo [a,b]
- Se determinan las soluciones de la función f(x)=0 y se toman las que se encuentren en el intervalo [a,b], por ejemplo c y d
- Se descompone el intervalo [a,b] en varios intervalos [a,c],[c,d] y [d,b]
- Calculamos la integral en cada intervalo y tomamos el valor absoluto.
- Finalmente, sumamos las cantidades para obtener el área final

Importante
Para calcular el área de la región formada por dos funciones y el eje x, debemos:
- Realizar un pequeña representación gráfica de las funciones
- Determinar los puntos de corte de las funciones con el eje x
- Calcular los puntos de corte entre las funciones.
- Fijar los intervalos de integración.
- Determinar que función está relacionada con cada intervalo e integrarlas en ellos.
En la siguiente presentación puedes ver un resumen de todo lo visto en este tema.