3.2. Ecuaciones de segundo grado y racionales
Las ecuaciones de segundo grado ya eran conocidas por las civilizaciones mesopotámicas y los egipcios. Los matemáticos griegos hicieron aportaciones interesantes referentes a su resolución. Los conocimientos sobre estas ecuaciones fueron transmitidos a Europa por los matemáticos árabes del siglo VIII.
Importante
Una ecuación de segundo grado con una incógnita es una igualdad algebraica que se puede expresar en la forma:
ax2+bx+c=0 siendo a,b y c números reales y a≠0.
-
a y b son los coeficientes de la ecuación.
-
c es el término independiente.
Si b≠0 y c≠0, se dice que la ecuación es completa. Si b=0 o c=0 la ecuación es incompleta.
Imagen de elaboración propia
Para resolver una ecuación de segundo grado en principio procedemos como en las de primer grado, quitando paréntesis y denominadores, y buscando una ecuación de la forma ax2+bx+c=0, donde a, b y c son números reales (si a=0 entonces sería una ecuación de primer grado).
Importante
Las ecuaciones de segundo grado pueden tener dos, una, o ninguna solución. Para resolverlas, usaremos la siguiente fórmula:
En la fórmula hay una raiz cuadrada que va a ser la que determine el número de soluciones de la ecuación. La expresión a la que calculamos la raiz, b2-4ac, se llama discriminante. Tendremos los siguientes casos:
- Si b2-4ac > 0: La raiz existe, y por lo tanto la ecuación tendrá dos soluciones, una operando con + y otra con -.
- Si b2-4ac = 0: La raiz vale 0 y la ecuación tendrá una única solución, x = -b/2a.
- Si b2-4ac < 0: La raiz no existe y la ecuación no tiene solución.
Veamos un ejemplo:
En este caso, será a = 6, b = -5 y c = -1. Si lo sustituimos en la fórmula, nos queda:
Obtenemos dos soluciones, una operando con + y otra con -
y
Ejercicio Resuelto
Resuelve la ecuación: (x+1)2 - (3x+8) = - (2x+3)2
- Quitamos paréntesis:
- Pasamos todos los términos al mismo miembro:
- Usamos la fórmula de resolución:
Comprueba lo aprendido
Resuelve las siguientes ecuaciones y completa los huecos. Si tiene una única solución, escríbela repetida en cada hueco. Si no tiene solución, escribe no en cada hueco. Los huecos con una barra / entre ambos indican una fracción.
¿Qué ocurre si en una ecuación aparece la incógnita en el denominador? A estas ecuaciones se les llaman racionales y el proceso para resolverlas es: quitar denominadres, operar y resolver la ecuación final.
Importante
En las ecuaciones racionales es importante eliminar de las soluciones los valores que anulen el denominador.
Ejercicio Resuelto
Resuelve la ecuación
Multiplicamos por el mínimo común múltiplo, que en este caso es x(x-2), y simplificamos,
Simplificamos las fracciones y reducimos términos
Resolvemos la ecuación de segundo grado que hemos obtenido en este caso
Comprueba lo aprendido
Escena de Miguel Ángel Cabezón Ochoa en Proyecto Descartes. Licencia CC