3.2. Ecuaciones de segundo grado y racionales

Las ecuaciones de segundo grado ya eran conocidas por las civilizaciones mesopotámicas y los egipcios. Los matemáticos griegos hicieron aportaciones interesantes referentes a su resolución. Los conocimientos sobre estas ecuaciones fueron transmitidos a Europa por los matemáticos árabes del siglo VIII.

Importante

Una ecuación de segundo grado con una incógnita es una igualdad algebraica que se puede expresar en la forma:

ax2+bx+c=0 siendo a,b y c números reales y a0.

  • a y b son los coeficientes de la ecuación.
  • c es el término independiente.

Si b≠0 y c≠0, se dice que la ecuación es completa. Si b=0 o c=0 la ecuación es incompleta.

incompletas

Imagen de elaboración propia

Para resolver una ecuación de segundo grado en principio procedemos como en las de primer grado, quitando paréntesis y denominadores, y buscando una ecuación de la forma ax2+bx+c=0, donde a, b y c son números reales (si a=0 entonces sería una ecuación de primer grado).

Importante

Las ecuaciones de segundo grado pueden tener dos, una, o ninguna solución. Para resolverlas, usaremos la siguiente fórmula:

En la fórmula hay una raiz cuadrada que va a ser la que determine el número de soluciones de la ecuación. La expresión a la que calculamos la raiz, b2-4ac, se llama discriminante. Tendremos los siguientes casos:

  1. Si b2-4ac > 0: La raiz existe, y por lo tanto la ecuación tendrá dos soluciones, una operando con + y otra con -.
  2. Si b2-4ac = 0: La raiz vale 0 y la ecuación tendrá una única solución, x = -b/2a.
  3. Si b2-4ac < 0: La raiz no existe y la ecuación no tiene solución.

Veamos un ejemplo:

En este caso, será a = 6, b = -5 y c = -1. Si lo sustituimos en la fórmula, nos queda:

Obtenemos dos soluciones, una operando con + y otra con -

y

Ejercicio Resuelto

Resuelve la ecuación: (x+1)2 - (3x+8) = - (2x+3)2

  • Quitamos paréntesis:
  • Pasamos todos los términos al mismo miembro:
  • Usamos la fórmula de resolución:

Comprueba lo aprendido

Resuelve las siguientes ecuaciones y completa los huecos. Si tiene una única solución, escríbela repetida en cada hueco. Si no tiene solución, escribe no en cada hueco. Los huecos con una barra / entre ambos indican una fracción.

  1. x2+2x+1=0 tiene solución y
  2. x2+5x+7=0 tiene solución y
  3. (2x-1)2=5x-1 tiene solución y /
  4. tiene solución y /

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¿Qué ocurre si en una ecuación aparece la incógnita en el denominador? A estas ecuaciones se les llaman racionales y el proceso para resolverlas es: quitar denominadres, operar y resolver la ecuación final.

Importante

En las ecuaciones racionales es importante eliminar de las soluciones los valores que anulen el denominador.

Ejercicio Resuelto

Resuelve la ecuación

Multiplicamos por el mínimo común múltiplo, que en este caso es x(x-2), y simplificamos,

Simplificamos las fracciones y reducimos términos

Resolvemos la ecuación de segundo grado que hemos obtenido en este caso

Comprueba lo aprendido

Escena de Miguel Ángel Cabezón Ochoa en Proyecto Descartes. Licencia CC