1.1 Definición y propiedades
Echemos la vista atrás para recordar la fórmula del interés compuesto.
Si en esta fórmula fijamos r (el interés) y c (el capital inicial), obtenemos una función en la que el capital final (C) depende del tiempo transcurrido (t).
Ejemplo:
Pues bien, vamos a suponer que invertimos 1 euro al 60% de interés y queremos determinar el capital que obtenemos según el tiempo que lo tengamos depositado. Entonces, nuestra fórmula se habrá convertido en:
Así, podríamos definir una función que me da el dinero obtenido en función del tiempo que dura la inversión. La variable independiente "x" sería el tiempo y la variable dependiente "y", el dinero obtenido, y la relación sería:
f(x) = 1,6x
Como puedes observar, esta función tiene una forma totalmente distinta de las que hemos visto, pues ahora la variable "x", aparece en el exponente.
Como hicimos con las otras funciones, vamos a hacer una tabla de valores para ver cómo sería la gráfica de esta función:
| X tiempo (años) | 0 | 1 | 2 | 4 | 5 | 10 | 15 |
| Y Capital (€) | 1 | 1,6 | 2,56 | 6,55 | 10,49 | 109,95 | 1152,92 |
A simple vista, observamos que la función va creciendo, pero de una manera ni mucho menos proporcional, pues conforme van pasando los años, nuestro capital se dispara.
Importante
Una función exponencial es una función de la forma: f(x) = ax , donde "a" es un número real positivo.
Vamos a comenzar viendo lo que tiene que cumplir la base para que de verdad tengamos una función exponencial.
Tú mismo lo vas a descubrir en la siguiente escena.
En esta escena tenemos representada la función f(x) = ax, y a "a" podemos darle distintos valores arrastrando el deslizador. Muévelo y observa lo que pasa con la representación gráfica.
Como puedes ver, al igual que pasaba con las funciones de proporcionalidad inversa, cuya gráfica era una hipérbola, las funciones exponenciales presentan una asíntota horizontal y son siempre crecientes o decrecientes. Sin embargo, no son funciones simétricas.
Reflexiona
Contesta a las siguientes cuestiones manipulando la escena anterior:
1. ¿Para qué valores de "a", la función es creciente?
2. ¿Para qué valores la función es decreciente?
3. ¿Qué ocurre si a = 1? ¿Y si es igual a 0?
Reflexiona
¿Por qué crees que no hemos tenido en cuenta los valores negativos para definir la base de la función exponencial?
Importante
Una función exponencial es una función de la forma 
La gráfica de la función tendrá una de estas dos representaciones, dependiendo de el valor de la base: Entre cero y uno (0<a<1) ó mayor que uno (a>1)
Simplemente observando el gráfico podemos deducir las siguientes propiedades:
- El dominio es todos los números reales,
- El recorrido, todos los números positivos;
- No corta al eje OX y siempre corta al eje OY en el punto (0,1), pues, cualquier número elevado a 0 es 1.
- La recta y=0 es una asíntota horizontal.
Comprueba lo aprendido
Para saber más
Traslaciones de la función exponencial
Manipulando la siguiente escena del Proyecto Descartes puedes descubrir cómo cambia la función exponencial al realizar traslaciones de la misma o multiplicándola por una constante:
Escena de José Luis Alonso Borrego en Proyecto Descartes. Licencia CC