Descripción de la tarea

Aunque las funciones elementales aparecen en muchas situaciones cotidianas, la composición de ellas nos ayudan a entender otros fenómenos más complejos. Este es el caso de la función logística.

Para saber de que va esta tarea el primer paso es que comprendas qué es el control poblacional y por qué las especies no pueden reproducirse de manera exponencial. Para ello debes leer este párrafo del artículo Crecimiento y control poblacional. Licencia CC:

"En teoría, cualquier tipo de organismo podría apoderarse de la tierra con tan solo reproducirse. Por ejemplo, imagina que empezamos con un solo par de conejos, macho y hembra. Si estos conejos y sus descendientes se reprodujeran a la máxima velocidad ("como conejos") durante 777 años, sin ninguna muerte, tendríamos suficientes conejos como para cubrir el estado de Rhode Island. Y eso no es tan impresionante: si usáramos bacterias E. coli en lugar de conejos, podríamos comenzar con una sola bacteria y cubrir el planeta completo con una capa de 30,48 centímetros de grosor ¡en tan solo 36 horas!

Imagen de Capri23auto en Pixabay. Licencia CC

Como seguramente ya te habrás dado cuenta, no hay una capa de bacterias de 30,48 centímetros de grosor cubriendo la tierra (al menos no en mi casa) ni los conejos han tomado el control de Rhode Island. Entonces, ¿por qué estas poblaciones no crecen tanto como teóricamente deberían? Las bacterias E. coli, los conejos y todos los organismos vivos necesitan recursos específicos, como nutrientes y un medio ambiente favorable, para poder sobrevivir y reproducirse. Estos recursos no son ilimitados y una población solo puede ser tan grande como lo permitan los recursos disponibles en su medio ambiente local. Los ecólogos de poblaciones usan varios métodos matemáticos para modelar la dinámica de poblaciones (los cambios en el tamaño y la composición de las poblaciones a lo largo del tiempo). Algunos de estos modelos representan el crecimiento sin restricciones ambientales, mientras que otros incluyen "topes" determinados por los recursos limitados. Los modelos matemáticos de las poblaciones pueden utilizarse para describir con precisión los cambios en una población y, aún más importante, predecir los cambios futuros."

Este es el caso de la función de crecimiento logístico P(t) que nos da el número de individuos de una población en función del tiempo en años:

donde L es la población límite o máxima que dicha población puede alcanzar y  siendo C la población inicial (número de individuos)

En esta tarea vas a tener que:

1) Plantear una situación en la que una población no pueda crecer indefinidamente, dando su población inicial, y la población límite. En esta apartado se valorará la originalidad del ejemplo propuesto, y que sea lo más cercano a la realidad posible. A partir de esa población límite y de la población inicial indica cuál es tu P(t).

2) Expresar dicha función como la composición de una función racional y una exponencial.

3) Hacer un estudio analítico de la función para representarla: dominio, puntos de corte con los ejes, continuidad, asíntotas y monotonía. 

4) Realizar un esbozo a mano de la gráfica, y sobre él  y sin recurrir a la segunda derivada analiza su curvatura e indica si tendría algún punto de inflexión.

5) Comparar el gráfico con el enunciado del problema.

• Para su entrega, la tarea se nombrará de la siguiente forma:

        Apellido1_Apellido2_Nombre_MT1_Tarea_4_2 (Sin tildes)

donde Apellido1, Apellido2 y Nombre se sustituirán respectivamente por el primer apellido, segundo apellido y el nombre del alumno.

• La tarea debe presentarse utilizando la siguiente plantilla:

(docx - 56917 B).