5.1. Racionalizar fracciones
Como verás en el próximo tema, cuando una raíz no da un número exacto, son números con infinitas cifras decimales que NO se repiten, luego no son números racionales, y se les llama números irracionales ( ,
son números irracionales).
No es conveniente realizar divisiones por números irracionales ya que al tener infinitas cifras decimales producen inexactitudes en las divisiones. Por ello, cuando en una fracción aparecen raíces en el denominador, se debe transformar la fracción en otra equivalente que no tenga raíces en el denominador.

Importante
Al racionalizar fracciones se pueden presentar tres casos más habituales:
CASO I: El denominador de la fracción es una raíz cuadrada.
Es el caso más sencillo. Para eliminar la raíz cuadrada se multiplica el numerador y el denominador por dicha raíz cuadrada.
Ejemplo: Racionalizar la fracción . En este caso habrá que multiplicar numerador y denominador por la raíz de 13:
CASO II: El denominador de la fracción es una raíz de índice mayor que dos.
En este caso para eliminar la raíz, se descompone el radicando en producto de factores primos, y se multiplica el numerador y el denominador de la fracción por una raíz del mismo índice que la del denominador y con un radicando formado por los mismos factores que la raíz inicial cuyos exponentes hagan que al sumarlos con los de la raíz original, se pueda simplificar la raíz.
Veamos un ejemplo para aclarar cómo es el procedimiento.
Ejemplo: Racionalizar la fracción .
Observamos que en el denominador hay una raíz quinta y su radicando ya está descompuesto en factores y está formado por un cuadrado. Para que el siete pudiera extraerse de la raíz debería tener exponente 5. Como le faltaría sumarle 3 a su exponente, multiplicamos numerador y denominador por , resultando:
Cuando se presenta esta situación, para eliminar las raíces se multiplica el numerador y el denominador de la fracción por lo que se llama el conjugado del denominador, que es la misma suma o diferencia, pero con el signo contrario.
Veamos un ejemplo. Se plantea racionalizar la fracción . En el denominador se observa que hay una suma de un número con una raíz cuadrada (también puede darse una suma de dos raíces cuadradas). Para poder solventar esta situación se utiliza la siguiente importante propiedad, y que utilizarás varias veces durante el curso, llamada suma por diferencia:
(a + b) · (a - b) = a2 -a · b + b · a - b2= a2 - b2
En efecto, cuando se multiplica una suma por una diferencia, aplicando la propiedad distributiva, se simplifica el resultado y se obtiene que es el primer término al cuadrado menos el segundo al cuadrado. Esto es muy útil con las raíces cuadradas, ya que: , luego una raíz cuadrada al cuadrado es el radicando, como ya has hecho en casos anteriores.
Es decir, si queremos racionalizar habrá que multiplicar numerador y denominador por el conjugado de
, que es
, obteniéndose:
![\frac{5+\sqrt[]{2}}{1-\sqrt[]{2}}=\frac{(5+\sqrt[]{2})\cdot{(1+\sqrt[]{2})}}{(1-\sqrt[]{2})\cdot{(1+\sqrt[]{2})}}=\frac{5+5\sqrt[]{2}+\sqrt[]{2}+\sqrt[]{2}\cdot{\sqrt[]{2}}}{1^2-(\sqrt[]{2})^2}=\frac{5+5\sqrt[]{2}+\sqrt[]{2}+\sqrt[]{2^2}}{1-2}=\frac{5+6\sqrt[]{2}+2}{-1}=\frac{7+6\sqrt[]{2}}{-1}=-7-6\sqrt[]{2}](eXe_LaTeX_math_1.21.gif)
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Caso de estudio
Racionaliza las siguientes expresiones: