3. Tu primer desafío

1. Potencias con exponente entero

Las potencias aparecen en la vida real en situaciones en las que algunos valores crecen o decrecen muy rápidamente. Por ejemplo, en el crecimiento poblacional, propagación de un virus, desintegración radioactiva, etc.

Recuerda que una potencia consiste en multiplicar un número (base) por sí mismo, cierto número de veces (exponente).

Por ejemplo, 25 representa una potencia de base 2 y exponente 5 (que es un número natural), y se calcula multiplicando 2 · 2 · 2 · 2 · 2.

Estas son las propiedades de las potencias:

Propiedad 1 2· 2= (2 · 2 · 2) · (2 · 2) = 23+2 = 25 a· a=an+m
Propiedad 2 2/2= (2 · 2 · 2 · 2 · 2)/(2 · 2 · 2) = 25-3 =22 a/a=an-m
Propiedad 3 2= 21-1 = 2/2= 1 a= 1
Propiedad 4 (53)=(5 · 5 · 5) · (5 · 5 · 5) = 53 · =56 (an)= an·m
Propiedad 5 (2 · 5)=(2 · 5) · (2 · 5) · (2 · 5)= 2· 5 (a · b)=a· bn
Propiedad 6 (2/5)3 =(2/5) · (2/5) · (2/5)= 23/53  (a/b)n =an/bn

En los siguientes vídeos se explican las propiedades de las potencias con ejemplos:

El concepto de potencia se puede extender al caso de exponentes negativos (enteros) y fraccionarios. Fíjate en la Propiedad 2. ¿Qué ocurriría si m > n?. Por ejemplo,  22/25 = (2 · 2)/(2 · 2 · 2 · 2 · 2) = 22-5 =2-3 , pero 22/25= 1/23.

Por consiguiente, 2-3=1/23.

2. Recuerda

Las potencias con exponente negativo se calculan hallando la inversa de la potencia con exponente positivo, es decir, $\\{a^{-n}}=\dfrac{1}{a^{n}}$

3. Un caso especial

Sabes que "2 elevado a 3" es un número natural cuyo valor es $2^{3}=2\cdot 2\cdot 2=8$, o que 4 es el número al que debes elevar 2 para obtener 16, $2^{x}=16\Rightarrow x=4$.

Pero, ¿a qué número debes de elevar 2 para obtener el valor 3? Es decir, cuál ha de ser el valor de "x" en la igualdad $2^{x}=3$.? ¿Tiene sentido la pregunta? ¿Existe algún número que cumpla la condición? Y, en caso afirmativo, ¿De qué tipo de número se trata, natural, racional o irracional? La respuesta a esta pregunta dará lugar al concepto de logaritmo que estudiarás más adelante.

4. Calculadora y potencias

Cuando en una potencia la base es negativa, esta debe ir entre paréntesis, porque calcular (-5)= (-5) · (-5)= 25 es distinto a -5= - 5 · 5 = -25. Esto debes tenerlo en cuenta cuando efectúas operaciones con la calculadora.

En la imagen de abajo se destacan las teclas de signo negativo (no se debe confundir con la tecla de la operación restar), elevar al cuadrado y paréntesis.

Calculadora
Imagen de elaboración propia. (CC BY-NC-SA)

5. El desafío. Piensa y resuelve

Imagen de elaboración propia con Dall-e-2 (CC BY-NC-SA)

Una de las situaciones de la vida cotidiana en las que aparece el cálculo de potencias es la forma en que se difunde la información en las redes sociales.

Cuando una persona comparte una noticia o contenido en una red social, puede llegar a un cierto número de personas en su red. A su vez, esas personas pueden compartir el contenido con sus propias redes, lo que amplía aún más su alcance. Este proceso puede repetirse varias veces, lo que lleva a un aumento exponencial en el número de personas que ven el contenido a medida que se propaga por la red.

Un ejemplo de una noticia viral fue la del vestido que apareció en una fotografía en Facebook en 2015, y que se volvió viral debido a la forma en que se percibía su color. Algunas personas veían el vestido como blanco y dorado, mientras que otras lo veían como azul y negro. La discusión en línea sobre el vestido se convirtió en un fenómeno viral que se extendió rápidamente en las redes sociales.

El desafío que se te plantea es resolver el siguiente problema:

Cierta información llega a una persona usuaria de una red social, al minuto la comparte con 2 contactos suyos. Al cabo de un minuto, cada uno de ellos comparte dicha información con otras dos personas que, al minuto, la vuelven a compartir con otras dos, y así sucesivamente.

Responde de forma razonada a las siguientes preguntas:

  1. ¿Cuántas personas en total conocerán la información al cabo de 30 minutos?
  2. ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que al menos 10000 personas conozcan la información?

Observación: para simplificar el problema, suponemos que las personas que van recibiendo la noticia son todas diferentes, es decir, cada persona recibe la información sólo una vez.

Audio

Supongamos que cierta información llega a una persona usuaria de una red social y que al minuto la comparte con 2 contactos suyos. Al cabo de un minuto, cada uno de ellos comparte dicha información con otras dos personas, que, al minuto, la vuelven a compartir con otras dos, y así sucesivamente.

¿Cuántas personas conocerán la información al cabo de 30 minutos?

¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que al menos 10000 personas conozcan la información?

¿Necesitas ayuda?

En este escenario, la propagación de la información sigue un patrón exponencial, donde cada persona que recibe la información la comparte con otras dos personas. Inicialmente, la información es conocida por 1 persona. Después de 1 minuto, habrá 2 personas más que conocen la información (las dos personas con las que se compartió inicialmente). Después de 2 minutos, habrá 4 personas más que conocen la información (las dos personas que cada uno de los contactos originales compartió la información). Después de 3 minutos, habrá 8 personas más que conocen la información (las dos personas que cada uno de los contactos de las personas que se enteraron en el segundo minuto compartieron la información).

Por lo tanto, al cabo de 3 minutos, el total de personas que conocen la información sería la suma de las personas que se enteraron en cada minuto: 1+2 + 4 + 8 = 15 personas.

Una buena estrategia o truco para abordar el problema consiste en colocar esta información en una tabla de valores, lo que te facilitará encontrar el patrón que sigue la secuencia numérica que vas obteniendo.

Tiempo transcurrido en minutos Número de personas nuevas que se enteran de la noticia  Total de personas que se han enterado de la noticia en el tiempo transcurrido Total de personas expresado en forma de potencia
0 1 1 1=21-1
1 2 1+2=3 3=22-1
2 2·2=4 1+2+4=7 7=23-1
3 2·2·2=8 1+2+4+8=15 15=24-1

.

.

.

.

.

.

n 2·2·2·....·2 (n veces) =2n 1+2+4+8+....+2n Total=2n+1-1

La secuencia de números correspondiente al número total de personas que se ha enterado de la noticia en el tiempo (minutos) transcurrido es: 1 , 3 , 7 , 15 , .......

Estos valores se pueden expresar como una potencia de base 2 a la que le restas 1. El exponente de dichas potencias es igual al tiempo transcurrido (valor de la primera columna) al que le sumamos 1.

Así obtienes un patrón (fórmula) que te permite calcular el número total de personas en función de n (tiempo transcurrido en minutos): Total=2n+1-1

  • Respuesta a la primera pregunta:
    Basta con hacer n=30 en la fórmula obtenida anteriormente: Total(30) = 230+1 - 1 = 231 - 1 = 2 147 483 647 personas.
  • Respuesta a la segunda pregunta:
    Basta con con hallar el menor valor de n (el exponente) que cumpla que: 2> 10000. Probando con diferentes valores de n observarás  que para n=14 obtenemos 214=16384 > 10000 (Fíjate que para n=13 obtendríamos 213=8192 < 10000, es decir, no cumple la condición)

6. Otra forma de razonar

En el desafío planteado, has visto que el número total de personas que conocían la información al cabo de n minutos es  $T=1+2^{1}+2^{2}+2^{3}+ \ldots +2^{n}$

En la ayuda ofrecida para resolver el desafío se ha recurrido a la observación de la secuencia de números obtenidos para llegar a la conclusión de que  T = 2n+1 - 1.

Pero fíjate ahora en otra forma o estrategia diferente de llegar a la misma conclusión.

Sabes que $T=1+2^{1}+2^{2}+2^{3}+ \ldots +2^{n}$

Si multiplicas por 2 ambos miembros de la igualdad obtendrías :  $2T=2^{1}+2^{2}+2^{3}+ \ldots +2^{n+1}$

Si multiplicas por (-1) ambos lados de la primera igualdad, y sumas miembro a miembro ambas igualdades, obtendrías:

$2T=2^{1}+2^{2}+2^{3}+ \ldots +2^{n}+2^{n+1}$

$-T=-1-2^{1}-2^{2}-2^{3}- \ldots -2^{n}$

________________________________________________________

$T=-1+2^{n+1}$, pues $2^{1}-2^{1}=0$, $2^{2}-2^{2}=0$, y así,  sucesivamente, $2^{n}-2^{n}=0$. Fíjate que $2\cdot 2^{n}=2^{n+1}$

Es decir, $T=2^{n+1}-1$

Este tipo de sumas donde se cancelan todos los sumandos excepto el primero y el último, reciben el nombre de sumas telescópicas

7. Piensa y resuelve

Aplicando la misma técnica del apartado anterior (sumas telescópicas), ¿cuál es el valor de $S=1+3^{1}+3^{2}+3^{3}+ \ldots +3^{n}$?

Mostrar respuesta

En este caso, multiplicas por 3 ambos lados de igualdad y restas miembro a miembro.

Despejando S obtienes: $S=\dfrac{1}{2}\left( 3^{n+1}-1\right) $

8. Ejercicios de autoevaluación

Practica las operaciones con potencias aplicando sus propiedades y comprueba el resultado.

Proyecto Descartes Edad (CC BY-NC-SA)

9. Hazlo aquí

En la resolución del desafío has comprobado que, inicialmente, en el minuto 0, sólo una persona conocía la noticia. Al cabo de un minuto la conocían 3 personas, al cabo de 2 minutos la conocían 7, y así sucesivamente.

Viste que esta información la podías colocar en una tabla:

Tiempo transcurrido (minutos) Total de personas que se han enterado de la noticia en el tiempo transcurrido

0

1
1 3
2 7
3 15
... ...
n Total= 2n+1-1

Ahora vas a representar estos valores en unos ejes de coordenadas, de tal manera que en el eje de OX colocamos el tiempo transcurrido y en el eje OY el número total de personas que se ha enterado de la noticia.

Observa el gráfico de abajo.

1. Haz clic en la casilla "Unir puntos". Verás que aparece una gráfica que contiene a todos los puntos.

2. Haz clic en la casilla "Mostrar gráfica completa". Aparece la gráfica completa de la función f(x)=2x+1−1 que se corresponde con la expresión Total= 2n+1-1.

Puedes poner el gráfico en pantalla completa pulsando el botón cuadrado que aparece abajo a la derecha, se verá mucho mejor.

https://www.geogebra.org/m/tymmupcd (Ventana nueva)

Antonio%20Ruiz%20Murcia,https%3A//ggbm.at/47504591,Difusi%F3n%20viral,1,Autor%EDa
Actividad%20no%20realizada,Actividad%20superada.%20Puntuaci%F3n%3A%20%25s,Actividad%20no%20superada.%20Puntuaci%F3n%3A%20%25s

Puedes observar que la función es creciente y que dicho crecimiento2 es muy rápido (pequeños incrementos en la "x" dan lugar a grandes incrementos en la "y"). A este tipo de funciones se les denomina exponenciales porque la variable independiente "x" está situada en el exponente.

En el siguiente apartado podrás saber más acerca de estas funciones.

10. La función exponencial

La función exponencial

La función exponencial es de la forma f(x)=ax, con a un número real positivo.

Por ejemplo, f(x) = 2x se denomina función exponencial de base 2, y la has encontrado al resolver el problema planteado en el desafío.

En la imagen de abajo se muestra su gráfica obtenida a partir de la tabla de valores que aparece al lado.

Elaboración propia. Función exponencial (CC BY-NC-SA)

11. Vocabulario: Conceptos básicos sobre funciones

Dominio de una función

El dominio o campo de existencia de una función está formado por aquellos números a los que les puedes hallar su transformado o imagen. Es de decir, "a" está en el dominio de f si puedes calcular f(a).

Por ejemplo, el dominio de la función $f\left( x\right) =\dfrac{1}{x}$ está formado por todos los números reales excepto 0, pues no está permitido dividir por 0. Observa lo que le ocurre a su gráfica en las proximidades de x=0. El dominio de la función f(x) se expresa así: D(f) = (-∞, 0) U (0, ∞)

Gráfica para mostrar el dominio de una función.
Imagen de elaboración propia. (CC BY-NC-SA)

Recorrido de una función

El recorrido o rango de una función está formado por aquellos valores que alcanza la función.

Por ejemplo, la función f(x)=2x solo puede tomar valores positivos, pues si x > 0 entonces 2x > 0, pero si x < 0 entonces $2^{x}=\dfrac{1}{2^{-x}}$ con -x >0  por lo que  2-x>0 y, por tanto $2^{x}=\dfrac{1}{2^{-x}} >0$. Concretamente, 23=8>0 y $2^{-3}=\dfrac{1}{2^{3}}=\dfrac{1}{8} >0$. Por tanto, se considera que el recorrido de la función está formado por todos los números reales positivos. Se expresa así: R(f) = (0, ∞)

Observa como la gráfica de f(x)=2x permanece siempre por encima de eje de abscisas (OX). Es decir f(x)>0 para cualquier valor de "x".

Gráfica para mostrar el recorrido de una función.
Imagen de elaboración propia. (CC BY-NC-SA)

Función creciente - Función decreciente

Se considera que una función es creciente si al aumentar el valor de x entonces también aumenta el valor de f(x). Es decir, si x < y entonces f(x) < f(y).

Por ejemplo, f(x)=x2 es creciente para valores de x > 0. Concretamente, 1 < 2 y se cumple que f(1) = 12 = 1 < f(2) = 22 = 4.

Por el contrario, se dice que una función es decreciente, si al aumentar el valor de x entonces disminuye el valor de f(x). Es decir, si x < y entonces f(x) > f(y).

Por ejemplo, f(x)=x2 es decreciente para valores de x < 0. Concretamente, -2 < -1 y se cumple que  f(-2) = (-2)2 = 4 > f(-1) = (-1)2 = 1.

En la gráfica de abajo puedes observar esta característica de la función f(x)=x2.

Ejemplo de función decreciente-creciente.
Imagen de elaboración propia. (CC BY-NC-SA)

Asíntota de una función

Se denomina asíntota de una función a la recta a la que se aproxima continuamente la gráfica de tal función. La recta puede ser horizontal, vertical u oblicua, por lo que se hablaría de asíntota horizontal, vertical u oblicua, respectivamente.

Por ejemplo, la función f(x)=2x presenta una asíntota horizontal en la recta  y=0 (eje OX), como puedes observar en su gráfica. 

Gráfica de función exponencial y asíntota horizontal
Imagen de elaboración propia. (CC BY-NC-SA)



12. Explora y practica

En la siguiente actividad, modifica los valores de los parámetros haciendo clic sobre las flechas de color. Observa que la función es creciente cuando a>1, y decreciente cuando 0<a<1. 

Fíjate que si 0<a<1, por ejemplo a=1/2, entonces puedes expresar la función con exponente negativo: $\left( \dfrac{1}{2}\right) ^{x}=\dfrac{1^{x}}{2^{x}}=\dfrac{1}{2^{x}}=2^{-x}$

A continuación, completa la tabla de valores y comprueba tu respuesta.



13. Aplica y resuelve

En esta actividad encontrarás problemas de la vida cotidiana en los que aparece la función exponencial. Aplica lo aprendido y resuelve.


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