2. Función derivada. Derivadas de funciones simples

Dado que la derivada es un concepto local, podría definirse la función derivada en aquellos puntos en que la función primera o primitiva es derivable.
La función derivada te dará el valor de la derivada en cada punto de la función.

Importante

Si tenemos una función f(x) denominamos función derivada de f respecto a la variable x a una nueva función que para cada valor x nos proporciona la derivada de la función en el punto x. A la función derivada de f(x) la denotaremos f'(x), aunque también la puedes ver representada como . De esta forma tenemos que:

Recuerda que con esta definición, la función derivada nos proporciona, para cada punto x, la pendiente de la recta tangente a la función en en punto x.

Ejemplo:

Vamos a obtener la derivada de f(x)=x2-2x en un punto cualquiera, x.

f'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{(x+h)^{2}-2\cdot(x+h)-x^{2}+2x}{h}=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{h^{2}+2xh-2h}{h}=

 =\lim_{h\rightarrow 0}h+2x-2=2x-2

Por lo tanto, f '(x)= 2x-2
Si quiero calcular la derivada en x=1, sustituyo f '(1)= 2(1)-2=0
Si quiero calcular la derivada en x=2, sustituyo f '(2)= 2(2)-2=2
...
Así para cualquier valor de x.

Ejemplo gráfico:

En la siguiente escena de Geogebra, distinguimos cómo va surgiendo la derivada de la función f(x)=x3 de la manipulación de su pendiente. Cuando movemos el punto de tangencia (1,1) con pendiente m=3, también varia la recta tangente, la pendiente y por tanto su derivada.
La función derivada aparece en color verde.

Comprueba lo aprendido

Utilizando la escena anterior, rellena los siguientes espacios en blanco:
  1. f'(x) le asociada a cada valor x la en el punto x, que es la de la recta tangente en x.
  2. Completa la siguiente tabla de valores de la función derivada
    x -1 0 1 2
    f'(x)
  3. La derivada de f(x)=x3 es f'(x)= (las pontencias las insertaremos utilizando ^, por ejemplo x5 lo expresamos x^5)

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No nos preocupemos, no va a ser necesario recurrir a la definición para calcular la derivada, ni tampoco representarla gráficamente, serían procesos muy largos y tediosos. Existen unas sencillas reglas prácticas con las que la función derivada de cualquier función elemental se puede hallar muy fácilmente. A continuación te ofrecemos un listado en el que aparece una función y al lado aparece su función derivada. Todos los resultados que aparecen en esta tabla son fruto de aplicar la definición de derivada de una función.

Importante

Es conveniente aprenderse esta tabla para no tener que recurrir una y otra vez a la definición cada vez que necesitemos derivar una función.Reglas derivación

Ejercicio Resuelto

Veamos un ejemplo de cada una de las derivadas de la tabla:

ejercicios derivadas