2. Representación de la recta real

La recta real

Una vez definidos los números reales, es útil visualizarlos gráficamente. Podemos hacerlo relacionando los números con los puntos de una recta; para ello, basta con señalar en una recta un punto al cual se le asocia el número real 0 y a otro punto a la derecha del primero al que se le asocia el número 1.

La representación de los números enteros se hace llevando el segmento que va de 0 a 1 hacia la derecha, o hacia la izquierda, tantas veces como indica el valor absoluto del número (ver el concepto del valor absoluto en el apartado "Valor absoluto. Distancias"). EL resulta es una recta como la que aparece en la siguiente figura.

La recta real
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El resto de los puntos de la recta representan números reales diferentes de lo enteros; los números racionales que vienen representados mediante fracciones se pueden construir utilizando el Teorema de Tales.

Ejemplo:

Si queremos construir el número 4/5 tendremos que subdividir el segmento de extremos 0 y 1 en cinco partes iguales, para ello trazaremos una recta por el punto 0 distinta a la recta real que pasa por el 1. A continuación se harán sobre ella cinco segmentos iguales 0A, AB, BC, CD, DE y se unirá el punto final E del último segmento con el 1. Posteriormente se trazarán líneas paralelas a la que pasa por el 1 y el E por los puntos A, B, C, D. El punto de corte en la recta real, de la recta construida que pasa por D, será 4/5.

Dividiendo un segmento
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Algunos números irracionales se pueden construir mediante teoremas geométricos, como el Teorema de Pitágoras, utilizando regla y compás. Un ejemplo es  , tal como aparece en la siguiente figura.

Construcción de raiz de 5
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Actividad

Mayor, igual y menor
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Veamos el significado de estos símbolos:

  • El símbolo se lee "menor que". Así se lee "2 menor que 5". Si escribimos nos estamos ahorrando muchas palabras, ya que representa a todos los números reales que son menores que 5, por ejemplo el 1, el - 1 o el 2,7.
  • El símbolo se lee "mayor que". Así se lee "5 mayor que 2". Si escribimos , estamos representando a todos los números reales que son mayores que 2.
  • El símbolo se lee "menor o igual que". Así representa a todos los números reales que son menores o iguales que 2.
  • El símbolo se lee "mayor o igual que", asíx 2 representa a todos los números reales que son mayores o iguales a 2.

Teniendo en cuenta que los símbolos se pueden leer en los dos sentidos, es decir, se puede leer: "2 menor que 5", o "5 mayor que 2", en la expresión , estamos indicando todos los números, "", que son mayores que 2 y menores o iguales que 5.

Diremos que un número real es positivo cuando , en caso contrario, o sea: , diremos que el número real es negativo, los números reales negativos se distinguen de los positivos por llevar el signo "-" a la izquierda como por ejemplo: etc.

Todo número situado a la derecha del 0 en la recta real es positivo, los números situados a la izquierda son negativos.

A toda expresión del tipo , , , siendo y números reales cualesquiera se le llama "desigualdad". Las desigualdades verifican las siguientes propiedades.

 

Propiedades Ejemplos
Si entonces Como entonces
Si y entonces Como y entonces
Si y entonces Como y entonces
Si y , Como y entonces

Actividad

Una ventaja que tiene imaginar el conjunto de los números reales como los infinitos puntos de una línea recta viene derivada del hecho de que el conjunto de los números reales es un conjunto ordenado como los puntos de una recta, los cuales se encuentran todos en la misma dirección. Matemáticamente esto se expresa de la siguiente forma.

Si en el conjunto de los números reales establecemos la relación, entre sus elementos, llamada: "menor o igual que" y simbolizada como , entonces dados tres números reales: a, b y c cualesquiera, se cumple siempre las siguientes propiedades.

Reflexiva

Antisimétrica

Si se cumple:

Transitiva

Actividad

En matemáticas superiores entra en juego el concepto de infinito, el cual viene representado por el símbolo . Desde el punto de vista del análisis matemático, y usando una definición no rigurosa y de carácter intuitivo, el infinito cabe entenderlo de dos formas:

  • Como un número infinitamente grande el cual, como es lógico, es irrepresentable. Se simboliza por o cuando el número es positivo y cuando el número es negativo.
  • Como una cantidad, positiva o negativa, que va creciendo de forma indefinida sin limitación alguna.

Otra ventaja que tiene imaginar el conjunto de los números reales como los puntos de una recta es debida al hecho de que aquel (el conjunto de los números reales) comparte con esta (la recta) la misma propiedad, y es la de su infinitud. De la misma manera que los puntos de una recta son infinitos, también lo son los elementos que componen el conjunto de los números reales. La siguiente figura pretende sintetizar las dos propiedades principales (su orden y su infinitud) que posee el conjunto de los números reales.

El orden en la recta real
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