2.1. Intervalos

Actividad

INTERVALOS Y SEMIRRECTAS EN LA RECTA REAL
Utilizamos los intervalos para designar tramos de la recta real. Los intervalos reales pueden ser de diferentes tipos, según los extremos se incluyan o no en el intervalo:
Intervalo abierto
  • . Son todos los números reales comprendidos entre a y b sin incluir ni a ni b.
Intervalo cerrado:
  • . Son todos los números reales comprendidos entre a y b ambos incluidos.
Intervalos semiabiertos:
  • . Son todos los números reales comprendidos entre a y b incluido a pero no b.
  • . Son todos los números reales comprendidos entre a y b incluido b pero no a.
Semirrectas:
  • . Son todos los números reales menores que a.
  • . Son todos los números reales menores o iguales que a.
  • . Son todos los números reales mayores que a.
  • . Son todos los números reales mayores o iguales que a.
En ocasiones queremos representar varios intervalos, para ello utilizamos el símbolo "" que significa "unión de conjuntos". Por ejemplo, queremos representar el conjunto numérico representado por los intervalos y sin incluir el 2, esto se puede representar de esta forma: .

Caso de estudio

Eva en la parada de autobús
Imagen enFlickr de Lst1984 bajo CC
Eva está esperando el autobús para ir al trabajo, sabe que de 9:05 a 9:10 pasa el autobús n.º 6. Hoy el autobús ha llegado a las 9 horas 5 minutos 4 segundos. Pero ayer, como estaba lloviendo, llegó a las 9 horas 8 minutos 3 segundos. Tanto en este ejemplo, como en muchos otros, estamos usando de forma inconsciente intervalos de números reales. En nuestro caso, Eva tiene que esperar un intervalo de 0 a 5 minutos.

Unos matemáticos se inventaron unos símbolos para representar los intervalos y ahorrarse así unas cuantas palabras. Así, la expresión matemática de este intervalo será . Y si designamos por los minutos de demora del autobús, lo podemos expresar en forma de desigualdad:

Llegado a este punto veamos otro procedimiento para representar números diferentes a los enteros en la recta real, este se basa en el hecho de que todo número real puede ser considerado como la intersección de una serie de intervalos (o segmentos de la recta real) encajados, por ejemplo para representar cuyo valor, si usamos una calculadora, es: 1,414213562... nos situamos entre los puntos 1 y 2, y después, ampliando esta zona, entre 1,4 y 1,5; y posteriormente entre 1,41 y 1,42; y así sucesivamente, podríamos seguir infinitamente según se muestra en la gráfica de abajo.
aproximación
Fuente propia bajo CC

En este otro ejemplo podemos ver como se procede a la hora de representar otro número irracional, como es el caso de cuyo valor es: 1,912931183...

 

La raiz de 7
Fuente propia bajo CC

En la imagen de arriba vemos como vamos aproximando poco a poco el valor de la raíz cúbica de 7. Si aproximamos a la unidad, podemos situar su valor entre 1 y 2. Si lo aproximamos a la décima, situamos su valor entre 1,9 y 2. Si seguimos aproximando a la centésima, su valor estará entre 1,91 y 1,92. Un paso más es aproximar a la milésima, o sea, el valor estará entre 1,912 y 1,913. Este proceso, es infinito, nunca llegaríamos a obtener el resultado exacto de la raíz de 7, tan solo, una aproximación, ya que al ser un número irracional, tiene infinitos decimales.

Caso de estudio

Escribe en forma de desigualdad los siguientes intervalos y semirrectas:







Pregunta Verdadero-Falso

Bart Simpson
Imagen en Flickr de quicheisinsane bajo CC

Pregunta 1

El intervalo en forma de desigualdad se expresa

Pregunta 2

La expresión representa al intervalo

Pregunta 3

El intervalo en forma de desigualdad se expresa:

Pregunta 4

La expresión representa al intervalo

Pregunta 5

La desigualdad representa a la semirrecta

Pregunta 6

La semirrecta se expresa en forma de desigualdad como.