3.1. Probabilidad condicionada

A lo largo del tema ya hemos visto ejemplo de situaciones en que un resultado influye en los resultados siguientes, por ejemplo, si vas a trabajar en coche sabes que hay veces que si sales cinco minutos antes de casa llegas con mucho tiempo de antelación al trabajo, pero si sales cinco minutos después llegas tarde porque te pilla el tráfico de horas punta. En este apartado vamos a calcular las probabilidades de sucesos que dependen unos de otros.

Importante

Se define la probabilidad condicionada como la probabilidad de que suceda un suceso A sabiendo que ha sucedido un suceso B. Se escribe P(A/B) y se lee probabilidad de A condicionada a B.

Caso práctico

Posiblemente recordarás que en el tema anterior trabajamos con las tablas de contingencia y en concreto hicimos algún ejercicio con los números de matriculados en la enseñanza a distancia para adultos. Teníamos la siguiente tabla.

Hombre Mujeres Totales
Secundaria 180 260 440
Bachillerato 190 220 410
Totales 370 480 850

Si elegimos una persona al azar, de los matriculados en esta enseñanza. ¿Cuál es la probabilidad de ser?

a) Alumna de secundaria.

b) Alumno de bachillerato.

c) Si la persona que hemos elegido es de bachillerato, ¿cuál es ahora la probabilidad de que sea un alumno?

d) Si hemos elegido una persona al azar y sabemos que es mujer, ¿cuál es la probabilidad de que esté matriculada en secundaria?

Importante

La probabilidad de que ocurran a la vez dos sucesos varía según sean dos sucesos dependientes o independientes. Si A y B son dos sucesos independientes la probabilidad de su intersección es:

La expresión anterior se utiliza también, a veces, para definir dos sucesos independientes. Otra forma de comprobar si el suceso A es independiente de B es cuando se verifica que P(A/B) = P(A) .

Si A y B son sucesos dependientes, entonces la probabilidad de que ocurran ambos es igual a:

Caso práctico

En una bolsa tenemos 10 bolas, 4 blancas y el resto negras. Extraemos primero una bola y después una segunda bola. Queremos hallar cuál es la probabilidad de que las dos bolas sean negras si:

  1. La primera bola se devuelve a la bolsa, tras anotar su valor.
  2. La primera bola se deja fuera de la bolsa antes de extraer la segunda.

Comprueba lo aprendido

En la siguiente escena, alojada en proyectodescartes.org, y elaborada por María José García Cebrian puedes comprobar como la probabilidad cambia cuando un suceso depende de otro. Mira primero los ejemplos que aparecen resueltos y pulsa después en el botón para hacer los ejercicios.

Probabilidad condicionada

Importante

En general, si queremos hallar la probabilidad de que ocurran varios sucesos dependientes a la vez, hay que calcular la probabilidad del primer suceso, multiplicarlos por la probabilidad de que ocurra el segundo suceso, supuesto que ha ocurrido el primero, por la probabilidad de que ocurra el tercer suceso suponiendo que han ocurrido los dos primeros, y así sucesivamente.
Para tres sucesos correspondería  la expresión:P(A\cap B\cap C)\; =\; P(A)\cdot P(B\mid A)\cdot P(C\mid A\cap B)

El resultado anterior se conoce como Teorema de la probabilidad compuesta y puede generalizarse a cualquier número de sucesos.

Reflexiona

Existe un grupo de personas donde hay 12 hombres y 18 mujeres. Elegimos dos personas al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas sean mujeres?

Comprueba lo aprendido

Tomamos una baraja española con 40 cartas y extraemos tres cartas al azar. La probabilidad de que las tres cartas extraídas sean de oros es:

(Recuerda escribir la probabilidad con "," decimal y redondeada a dos cifras decimales)

  1. si las cartas se devuelven al mazo después de cada extracción.
  2. si las cartas que se extraen no se devuelven al mazo.

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