2.2. Definición de derivada

Ya sabemos lo que es un sinónimo, ¿pero sabías que en matemáticas también existe ese término?

Sinónimos y antónimos
Fotografía de David González Romero en Flickr. Licencia CC

A la tasa de variación instantánea en a también la llamamos derivada en a.

Importante

Si tenemos una función llamamos derivada de la función en un punto a la tasa de variación instantánea de la función en el punto y se denota . Así, según la definición tenemos que:

Recuerda que para que exista este límite, deben existir los límites laterales y coincidir. Así, de la misma forma, podemos definir las derivadas laterales como:

.- Derivada por la derecha:

.- Derivada por la izquierda:

Geométricamente, la derivada de una función en un punto es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en dicho punto. En el apartado siguiente desarrollaremos este concepto y daremos una interpretación geométrica a la derivada.

Podemos comprobar en la escena de GeoGebra del apartado anterior, cómo efectivamente si hacemos coincidir a y b, la recta secante se convertirá en la recta tangente.

Ejemplo o ejercicio resuelto

Halla la pendiente de la recta tangente a la gráfica de

en el punto de abscisa x=-2.

AV - Actividad de Espacios en Blanco

Completa en la siguiente tabla las derivadas en los puntos de abscisas -2, -1, 0, 1, 2, 3 y 4 de la función f(x)=x2-2x.

 

x -2 -1
0
1
2
3
4
f'(x)

 

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En la siguiente escena de Geogebra, distinguimos cómo va surgiendo la derivada de la función f(x)=x3 de la manipulación de su pendiente. 

Applet alojado en GeoGebra. Licencia CC

Actividad de Espacios en Blanco

Utilizando la escena anterior, rellena los siguientes espacios en blanco:
  1. f'(x) le asocia a cada valor x la en el punto x, que es la de la recta tangente en x.
  1. Completa la siguiente tabla de valores de la función derivada
    x -1 0 1 2
    f'(x)
  1. La derivada de f(x)=x3 es f'(x)= (las potencias las insertaremos utilizando ^, por ejemplo x5 lo expresamos x^5)

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Actividad de rellenar huecos

Calcula la derivada de cada una de las siguientes funciones en el punto que se indica:
  1. f(x)=3x+4 \ \ \ \ f'(2)= 
  1. f(x)=2x^2+5x+3 \ \ \ \ f'(1) 
  1. f(x)=4x^3 \ \ \ \ f'(-1)

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