2.4. Función derivada

Rolling moon
Fotografía de taivasalla en Flickr. Licencia CC

 En el apartado "Comprueba lo aprendido" de la definición de derivada, se nos pedía evaluar la derivada dela función   f(x)=x2-2x en determinados puntos . Observa que se trata de una nueva función, f', que asocia a cada abscisa, x, el valor de la pendiente (la derivada) de la función f en x.

Actividad

Si tenemos una función f(x) denominamos función derivada de f respecto a la variable x a una nueva función que para cada valor x nos proporciona la derivada de la función en el punto x. A la función derivada de f(x) la denotaremos f'(x), aunque también la puedes ver representada como . De esta forma tenemos que:

 

Recuerda que con esta definición, la función derivada nos proporciona, para cada punto x, la pendiente de la recta tangente a la función en en punto x.

Los valores de la tabla que rellenamos corresponden a la recta y=2x-2. ¿Será entonces f'(x)=2x-2?

Para probarlo, vamos a obtener la derivada de f(x)=x2-2x en un punto cualquiera, x.

 

 


Actividad de Espacios en Blanco

Utilizando la escena anterior, rellena los siguientes espacios en blanco:
  1. f'(x) le asociada a cada valor x la en el punto x, que es la de la recta tangente en x.
  2. Completa la siguiente tabla de valores de la función derivada
    x -1 0 1 2
    f'(x)

  3. La derivada de f(x)=x3 es f'(x)= (las pontencias las insertaremos utilizando ^, por ejemplo x5 lo expresamos x^5)

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Actividad

A la derivada de una función también se la denomina derivada primera. Si volvemos a derivar la derivada primera de una función, obtenemos la llamada derivada segunda; la derivada de la derivada segunda se denomina derivada tercera; y así sucesivamente. Éstas son las llamadas derivadas sucesivas de una función:

 

 

Si nos fijamos es como un efecto domino:

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La diferencia es que no siempre es tan larga esta cadena de derivadas como queramos, puede llegar un momento en el que se repita la derivada indefinidamente. Por ejemplo, la derivadas sucesivas de una constante son siempre cero, y la derivada de la función exponencial f(x)=ex es siempre ella misma.

Caso de estudio

¿Existen otras funciones que a partir de alguna de sus derivadas sucesivas siempre se repitan?