2.1. Tasa de variación media y variación instantánea

Actividad

Si tenemos una función f, la tasa de variación media de la función entre dos puntos a y b viene dada por:

 

Geométricamente, la tasa de variación media de la función f en el intervalo [a,b] es la pendiente de la recta secante a la gráfica de f que pasa por los puntos (a,f(a)) y (b,f(b)).

Observemos la siguiente escena de GeoGebra. En ella, podemos calcular distintas TVM para la función f(x)=x2+2x en cualquier intervalo y ver qué relación guarda con la recta secante.

 

Applet alojado en GeoGebra. Licencia CC

Caso de estudio

Calcula la tasa de variación media de la función f(x)=x2+3x+1 en el intervalo [-2,1]

¿Pero, qué podemos hacer si queremos saber la velocidad en un momento concreto? Por ejemplo, la velocidad instantánea cuando paso por una estación sin para en ella. Si queremos definirla a partir de esa misma relación espacio recorrido y tiempo empleado en recorrerlo, tenemos un problema porque ese tiempo sería cero y el espacio también.

Sin embargo podemos recurrir a la idea de considerar las velocidades con que hemos recorrido trayectos cada vez más pequeños. Parece razonable que, si esos trayectos se van acortando hasta cero, las velocidades medias se irán aproximando a la velocidad con que viajo en ese instante determinado.

Volvamos atrás a nuestro video y a las imágenes de las gotas de agua. Si lo vemos de nuevo, podemos comprobar que a menor número de fps, la grabación es cada vez más rápida. Es decir, si nos acercamos lo máximo posible a 0, nuestra grabación se convertiría prácticamente en una fotografía de un instante.

Si ahora volvemos a las funciones y, teniendo en cuenta que b es mayor que a, se puede expresar b como a+h, donde h sería un número real y positivo, y de esta forma la tasa de variación media se podría expresar con la siguiente fórmula:

Si h se aproxima a cero, el punto b=a+h se aproximará al punto a y la tasa de variación media tenderá entonces a un valor que denominamos tasa de variación instánea de la función f en el punto a. Que si hablamos en términos de velocidad, sería justo la que marca el velocímetro de nuestro coche en un determinado momento.

Importante

La tasa de variación instantánea de función f en un punto viene dada por:

 

 

Ejemplo o ejercicio resuelto

Calcula la tasa de variación instantánea de la función f(x)=x2 en x=2

Actividad de rellenar huecos

Unos diseñadores informáticos han estado trabajando durante varios meses para poder acercar, a través de Internet, una visita a la Capilla Sixtina.  El movimiento que se puede realizar en cada una de las direcciones dentro de la recreación virtual de la Capilla, lo han conseguido a través de una función plana que se aplica en la dirección en la que se mueve el ratón del ordenador, de forma que pueda seguir ofreciendo una perspectiva próxima a la realidad. La función utilizada es:

f(x)=2x^2+6

De esta función han realizado las siguientes anotaciones en su estudio:

1.- La tasa de variación media entre los valores 1 y 3 es .

2.- La tasa de variación media entre los valores 4 y 8 es .

3.- La tasa de variación instantánea en el valor 3 es .

4.- La tasa de variación instantánea en el valor 5 es .

Ayúdales completando los valores.

Enable JavaScript

Caso de estudio

Fórmula I

Fotografía de williamcho en Flickr. Licencia CC

La empresa de motores MOTORESA ha diseñado un nuevo motor de gasolina que pretende introducir en el mercado. Los ingenieros de la empresa saben que el consumo de gasolina depende de la velocidad a la que vaya el motor. Si llamamos x a la velocidad, la función que proporciona el consumo de gasolina en función de la velocidad es

Para contrastar lo bueno que es el motor frente a sus competidores, han decidido basarse en la tasa de variación instantánea del consumo del motor a velocidad 1.

Calcula esa tasa de variación instantánea.