Resumen

Importante

- Si tenemos una función f, la tasa de variación media de la función entre dos puntos a y b viene dada por:

 

Geométricamente, la tasa de variación media de la función f en el intervalo [a,b] es la pendiente de la recta secante a la gráfica de f que pasa por los puntos (a,f(a)) y (b,f(b)).

- La tasa de variación instantánea de función f en un punto viene dada por:

 

 

Si tenemos una función llamamos derivada de la función en un punto a la tasa de variación instantánea de la función en el punto y se denota . Así, según la definición tenemos que:

Recuerda que para que exista este límite, deben existir los límites laterales y coincidir. Así, de la misma forma, podemos definir las derivadas laterales como:

.- Derivada por la derecha:

.- Derivada por la izquierda:

Geométricamente, la derivada de una función en un punto es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en dicho punto. En el apartado siguiente desarrollaremos este concepto y daremos una interpretación geométrica a la derivada.

Importante

Si tenemos una función f(x), la derivada de la función en x=a,

f'(a) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}

es la pendiente de la recta tangente a f(x) en el punto de abscisa x=a.

De esta forma, si tenemos una función f(x), su función derivada f'(x) es la función que en cada punto toma el valor de la pendiente de la recta tangente a f(x) en ese punto.

Por tanto, la recta tangente a la función en el punto es:

A la recta perpendicular a esta recta tangente en el punto se le llama recta normal. Así, la ecuación de la recta normal es:

Hemos aplicado que la pendiente de una recta, m, y la de una recta perpendicular a ella, m', verifican que m·m'=-1.

Importante

Si tenemos una función f(x) denominamos función derivada de f respecto a la variable x a una nueva función que para cada valor x nos proporciona la derivada de la función en el punto x. A la función derivada de f(x) la denotaremos f'(x), aunque también la puedes ver representada como . De esta forma tenemos que:

 

Recuerda que con esta definición, la función derivada nos proporciona, para cada punto x, la pendiente de la recta tangente a la función en en punto x.

Importante

Suma (f+g)'=f'+g'

La derivada de la suma de funciones es la suma

de las derivadas de estas funciones

Resta (f-g)'=f'-g'

La derivada de la diferencia de funciones es la

diferencia de las derivadas de estas funciones

Producto
(f·g)'=f'·g+g'·f

La derivada del producto de dos funciones es igual

a la derivada de la primera por la segunda sin derivar

más la segunda derivada por la primera sin derivar.

Cociente

La derivada del cociente de dos funciones es igual a la

derivada del numerador por el denominador sin derivar

menos la derivada del denominador por el numerador sin

derivar, y todo ello dividido por el denominador al cuadrado

Producto por un número (a·f)'=a·f'

La derivada del producto de un número real por la función

es igual al número real por la derivada de la función

Composición
(g°f)'=[g(f(x))]'=g'(f(x))·f'(x)

Regla de la cadena (desarrollada más abajo)

Importante

Tabla de derivadas de funciones simples

Importante

Si una función es derivable en un punto x = a, entonces es continua para x = a.

El reciproco es falso, es decir, hay funciones que son continuas en un punto y que, sin embargo, no son derivables.