3.3. Optimización (maximización o minimización)

Para encontrar la solución nos vamos a ayudar de la función objetivo F(x,y)=120x+60y. ¿Cómo?, representando en primer lugar la recta 120x+60y=0, y a partir de ella iremos trazando rectas paralelas hasta que lleguemos a la región factible.

Recuerda que todas las rectas que son paralelas a 120x+60y=0 son aquellas que tienen la forma 120x+60y=k, donde k puede tomar cualquier valor.

Vamos a verlo gráficamente. Para ello, en la siguiente escena, mueve el punto k, que está sobre el deslizador rojo. Llévalo a cero y aumenta su valor hasta que topes con el primer punto factible. Este punto será la solución de nuestro problema.

Como podemos observar en la escena anterior el primer punto de la región con el que "tropieza" la recta es el punto (6,10). Este punto es la solución pues, de todos los puntos factibles, en este es donde la función objetivo toma el valor más pequeño, es decir, es el punto de menor coste para la empresa. Esto quiere decir que la solución óptima consiste en enviar 6 furgonetas del tipo I y 10 furgonetas del tipo II.

Furgoneta
Imagen de Wikimedia Commons con licencia Creative Commons

Para este punto la función objetivo toma un valor de 1320, es decir, F(6,10)=120·6+60·10=720+600=1320. El coste de enviar las furgonetas es de 1320€.

Conclusión:

Tenemos que enviar 6 furgonetas del Tipo I y 10 furgonetas del tipo II. El coste de la operación es de 1320€.

Después de ver el resultado parece lógico pensar que tenemos que enviar el mayor número de furgonetas del tipo II disponibles, ya que su coste es justo la mitad de las del tipo I y dos furgonetas del tipo II(coste 120€) transportan 60 paquetes, 10 más que una sola del tipo I (coste 120€). Es decir, a igual coste es mejor enviar 2 del tipo II, que una del tipo I.

 

 

Con este vídeo podrás repasar todo el proceso de construcción de un problema de programación lineal a partir del planteamiento del problema. Pertenece a una serie llamada Programación lineal que consta de 11 videos, te pueden ser de gran ayuda:

 

Importante

    • La solución para un problema de programación lineal, si existe, siempre se alcanzan en los vértices de la región factible y se denomina solución óptima.
    • Si el valor óptimo se alcanza en dos de los vértices de la región factible A y B, entonces también son solución todos los puntos del segmento AB, es decir, el que corresponde a un lado de la región factible.

      Ejemplo o ejercicio resuelto

      Resolver Problema de Programación lineal
      Animación del Banco de imágenes y sonidos del ITE bajo licencia Creative Commons

      Bueno, vamos a terminar el problema de las bombillas. 

      En nuestro caso, las restricciones x≥0 e y≥0 son redundantes, es decir, no son necesarias para resolver el problema.

      AV - Pregunta de Elección Múltiple

      Pregunta

      1. Un problema de Programación Lineal consiste en:

      Respuestas

      Encontrar unas restricciones

      Representar una región factible

      Optimizar una función objetivo sujeta a unas restricciones

      Calcular el valor mínimo de una función a partir de una región factible

      Retroalimentación

      Pregunta

      2. La región factible determinada por las restricciones:

      2x+2y≤8
      x+y≤6
      y≥x
      x≥1, y≥1

      es una de las siguientes:

       Región 1  Región 2 Región 3
       Región 4
      Región 1
      Región 2
      Región  3
      Región  4

      Sugerencia

      Toma un punto interior de la región representada y comprueba que verifica todas las restricciones

      Respuestas

      Región 1

      Región 2

      Región 3

      Región 4

      Retroalimentación

      Pregunta

      3. La siguiente imagen representa la región factible de un problema de programación lineal, junto con una de las representaciones de la función objetivo F(x,y).

      Región factible

       

      Sugerencia

      Recuerda que el punto óptimo de una región factible acotada siempre está en, al menos, un vértice,

       

      Respuestas

      El valor mínimo de la función objetivo se alcanza en el punto B(5,1)

      El valor máximo de la función objetivo se alcanza en cualquier punto del segmento AB

      El valor mínimo de la función objetivo se alcanza en el punto (3,2)

      El valor mínimo de la función objetivo se alcanza en el punto C(1,1)

      Retroalimentación