1.1. De los irracionales a los reales

Fotografía en Flickr por fotogake bajo CC

Ya los antiguos griegos descubrieron que había objetos, cuyas dimensiones no podían expresarse con los números racionales, una vez elegida una unidad. Llamaron a tales magnitudes inconmensurables, que no pueden medirse. La unión del sustantivo ‘magnitudes’ y el atributo ‘inconmensurables’ parece encerrar en sí misma una contradicción o paradoja. Constituyen el equivalente en lenguaje geométrico de lo que en lenguaje numérico se designa hoy día como número irracional. Un número irracional contra lo que puede parece a simple vista no es un número absurdo, ilógico, sino un número que no es racional, que no puede expresarse como cociente de números enteros.

Existen infinitos números irracionales. Algunos de ellos por su importancia histórica y práctica, han llegado a adquirir un nombre propio. Pulsa en la imagen para verla a mayor tamaño:

Imagen de elaboración propia

¿Cómo escribir los números irracionales?

Si te fijas en la imagen anterior, el número de oro o número áureo phi ( o ), viene expresado a través de una suma y un cociente de un número irracional , con dos números racionales, pues bien, la irracionalidad de phi, no es casualidad.

Según el importante anterior, en algunos casos podremos escribirlos de forma simbólica, basándonos en otros números irracionales. Pero en el caso en el que recurramos a su expresión decimal, escribimos el número hasta una determinada cifra e indicamos mediante puntos suspensivos que los decimales continúan. Esto nos permitirá no confundirlos con números decimales exactos.

Los números reales

El conjunto de los números reales se puede representar como si de un cuadro de Modrian se tratara:

Imagen de elaboración propia

Si te fijas, uno de los aspectos más sorprendentes de la historia de los números es que cada nueva invención es ampliación de las precedentes y, de alguna manera, las completa. Los números enteros incluyen los naturales, los números racionales incluyen los números enteros y los reales incluyen los racionales y los irracionales.

Aunque parezca increíble la historia de los números no termina con los números reales. Existe otro conjunto de números llamado números complejos, que como no podía ser de otra forma, está repleto de números imaginarios. Pero no temáis, por ahora no nos complicaremos la vida con "complejidades".