1.1 Planteamiento general
Alberto salió de compras acompañado de su socio. Llevaba en la cartera 300 euros, y a su regreso sólo le
quedaban 120. La compra la había pagado a medias con su socio; se trataba de botes de pintura para adecentar el almacén. Cada lata les había costado 12 euros. El transporte les había costado 36 euros, que también pagaron a medias. Quería Alberto saber cuántas latas de pintura habían comprado. Y no teniendo ganas de bajar al almacén para contarlas, anotó en una hoja la siguiente expresión:
.............................................
Ejemplo o ejercicio resuelto
Vamos a aplicar la simbolización algebraica al problema de Alberto que hemos visto antes. Vamos a seguir los pasos y ver qué expresión obtenemos. Como el número de latas no lo conozco, lo voy a representar por un símbolo, en este caso la letra x.
| Lenguaje cotidiano | Lenguaje algebraico |
| Nº de latas | x |
| 12 € por lata. El costo del lote es | 12x |
| Mas 36 € del transporte | 12x+36 |
| Alberto puso la mitad, el gasto es | (12x+36)/2 |
| Por otra parte salio con 300 € y lleva 120, se ha gastado | 300-120 |
| Ambas cantidades deben de coincidir, es decir | (12x+36)/2=300-120 |
Actividad
Las igualdades en las que figura alguna cantidad numérica designada simbólicamente mediante una letra (incógnita) se llaman ecuaciones (si la incógnita sólo puede tomar determinados valores para que se cumpla la igualdad) o identidades (si la incógnita puede tomar cualquier valor).
El mayor exponente al que esté elevado la incógnita x, x2,x3...se denomina grado de la incógnita. En caso de ser 1 se llaman de primer grado.
Ejemplo 
Si el mayor grado de la incognita es 2, segundo grado.
Ejemplo 
Veamos ahora un ejemplo importante de identidad (igualdad que se cumple sea cual sea el valor que tome la incógnita).
La expresión (x + 2)2 = x2 + 4x + 4 es verdadera cualquiera que sea el valor de x, y responde al hecho de que las expresiones de los dos miembros tienen siempre el mismo valor cuando la x se sustituye por cualquier número.
El primer miembro expresa el área del cuadrado grande, de lado x+2. Luego su área será (x + 2)2. El segundo miembro divide el mismo área en cuatro partes: el cuadrado de lado x (la medida de su área, según la geometría, es lado por lado, es decir, x2), dos rectángulos de lados x y 2 (cuya área conjunta totaliza 4x), y un cuadrado de lado 2. Si sumamos las 4 partes obtenemos:
x2 + 2x +2x + 4= x2 + 4x + 4.
Como el área es la misma, deben coincidir: (x + 2)2 = x2 + 4x + 4 y se verifica para cualquier x. Por eso es una identidad.
En general, si en vez de 2 sumamos una constante cualquiera a la que llamamos b: (x + b)2 = x2 + 2bx + b2 (es una de las "identidades notables").
Importante
Sin duda te son familiares las siguientes identidades notables:
El cuadrado de una suma : (x + b)2 = x2 +2bx + b2
El cuadrado de una diferencia: (x - b)2 = x2 -2bx + b2
La diferencia de cuadrados: x2 - b2 = (x + b).(x - b)
(La tendrás memorizada como "suma por diferencia igual a diferencia de cuadrados")
AV - Pregunta de Elección Múltiple
La calle donde se encuentra la tienda de moda de Alberto ha sido peatonalizada recientemente por el Ayuntamiento. Alberto observa el diseño que están utilizando para la solería de la calle. Como puedes apreciar en el dibujo, se compone de filas de losetas azules rodeadas por losetas naranjas.
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¿Cuántas losetas naranjas se necesitarían para rodear "n" losetas azules?
AV - Pregunta de Selección Múltiple
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En la mañana de hoy la tienda está muy tranquila. Para entretenerse, Alberto está jugando con un puñado de palillos que se ha encontrado en la trastienda. Se ha dedicado a construir triángulos siguiendo el patrón que puedes ver en la siguiente imagen.
Alberto quiere saber cuántos palillos necesitará para construir "n" triángulos. Señala todas las opciones que expresen dicho valor.
a) 3·n
b) 3+2·n
c) 2·n+1
d) 3+3·(n-1)