1.1 Número de soluciones de un sistema.

Vimos en el tema anterior que si tenemos una ecuación con una incógnita puede tener una, ninguna, o unas pocas soluciones. Si la ecuación tiene dos incógnitas, entonces tiene infinitas soluciones. ¿Y con los sistemas qué pasa? Puedes pensar por lo visto en el apartado anterior, que siempre tiene una solución única, eso sí formada por dos valores. Pero eso no siempre es así.

Fuente propia

 

Te ponemos un ejemplo muy simple. Si he comprado un cuaderno y un rotulador y me han costado 4,25 €, hay muchos precios distintos para el cuaderno y para el rotulador. Si ahora me dicen que dos cuadernos y dos rotuladores iguales cuestan 8,50 €, es verdad que tengo otra ecuación, pero realmente no me aporta ninguna información nueva, pues ese dato podía haberlo deducido directamente de la anterior, por lo que sigo sin saber cuánto vale exactamente el cuaderno o el rotulador.

 

Para saber el número de soluciones de un sistema lo haremos a partir de los coeficientes de las incógnitas.

 

Recordemos el sistema de ecuaciones genérico que vimos en el apartado anterior:

Actividad

El sistema tiene una única solución y se llama: Sistema compatible determinado (SCD)
El sistema no tiene solución y se llama: Sistema incompatible (SI)
El sistema tiene infinitas soluciones y se llama: Sistema compatible indeterminado (SCI)

 

Quizás pienses que es muy complicado encontrar una solución de una ecuación que tiene infinitas soluciones, y en donde las cosas no están muy bien determinadas, pero es justo lo contrario. En este caso sólo tienes que darle un valor a una de las dos variables y te queda una ecuación lineal de primer grado como las que hemos resuelto en el tema anterior.

 

Por ejemplo, en el caso de las palomitas y los refrescos, si consideramos que los refrescos valen 1,25 € cada uno, en la ecuación nos quedaría 3·x+2·1,25=6, de donde despejando 3·x = 6-2·1,25 = 6-2,5 = 3,5 y por tanto cada paquete de palomitas valdría x= 3,5/3 = 1,17 €.

Caso de estudio

Comprueba el número de soluciones de los siguientes sistemas de ecuaciones:

a)
b)
c)

 

Pregunta de Elección Múltiple
1. El sistema , según el número de soluciones es:
 
a) Compatible determinado
b) Compatible indeterminado
c) Incompatible

2. El sistema
, según el número de soluciones es:
a) Compatible determinado
b) Compatible indeterminado
c) Incompatible

3. El sistema , según el número de soluciones es:
a) Compatible determinado
b) Compatible indeterminado
c) Incompatible

4. El sistema

, según el número de soluciones es:
a) Compatible determinado
b) Compatible indeterminado
c) Incompatible