Lo más importante para enfrentarnos a
cualquier situación o problema en la vida cotidiana es una buena
planificación. A continuación vamos a describir algunas estrategias adecuadas para la resolución de problemas
matemáticos.
El matemático y pedagogo húngaro George Polya (1887-1985) fue, a
mediados del siglo pasado, el personaje clave a la hora de destacar la
importancia de la resolución de problemas en la enseñanza, tanto de la
matemática como de otras disciplinas. Polya considera la resolución de
problemas como uno de los ejes esenciales de la educación matemática.
Bajo licencia de Creative Commons
Polya resumió en los siguientes pasos la mejor
estrategia para resolver problemas:
Entender el problema: es fundamental que leamos el
enunciado del problema detenidamente para entender bien, tanto lo que
en él se describe como la pregunta que se nos plantea. ¿De qué datos
disponemos? ¿Cómo podemos relacionarlos? ¿Qué matemáticas podemos
aplicar? ¿Hemos resuelto algún problema similar anteriormente?
Configurar un plan:
debemos buscar las variables adecuadas, relacionarlas entre ellas y con
los datos conocidos. A continuación, planteamos la ecuación o
ecuaciones.
Ejecutar el plan: resolvemos la ecuación o el sistema planteado utilizando el método más adecuado.
Mirar hacia atrás:
comprobamos que la solución obtenida es correcta y conforme al
enunciado y la situación del problema planteado. Revisamos todo el
proceso.
Caso de estudio
Vamos a seguir los cuatro puntos anteriores para resolver el siguiente problema.
"Juan quiere hacer publicidad de su tienda de ropa en la prensa local.
Por ello, está interesado en insertar un anuncio en los periódicos
gratuitos que se reparten por las calles. Ha preguntado a dos dueños de
locales cercanos al suyo, y le han informado de que el precio depende
del número de palabras que aparezcan en él y del tamaño en centímetros
cuadrados que tenga el anuncio.
A la papelería cercana a su local, por un anuncio de 40 palabras y
10 centímetros cuadrados le han cobrado 130 euros. En tanto que el
farmacéutico ha pagado 120 euros por un anuncio de 30 palabras y 12
centímetros cuadrados".
Ayuda a Juan a saber cuál es el precio de cada palabra y del centímetro cuadrado del anuncio.
Sigamos los pasos de Polya para resolver el problema.
Entender el problema
Nos preguntan por el precio de cada palabra y del centímetro cuadrado,
si quiero insertar un anuncio en la prensa. Conocemos lo que le han
cobrado a dos comerciantes.
Configurar un plan
Llamamos x = precio en euros por cada palabra, e y = precio en euros
por cada centímetro cuadrado. Con estas dos incógnitas y según los
datos que disponemos, planteamos el siguiente sistema:
Ejecutar el plan
Resolvemos por el método más adecuado el sistema. Si dividimos la
primera ecuación entre 10 y la segunda entre 6, nos queda el sistema
equivalente:
Despejamos la y en la primera ecuación y= 13-4x, y la sustituimos en la segunda ecuación, 5x+2(13-4x)=20.
Resolvemos la ecuación: 5x+26-8x = 20. Por tanto x = 2, e y = 5.
Mirar hacia atrás.
Comprobamos si las soluciones se ajustan a la pregunta planteada en el
problema. Para ello vemos que si el coste de cada palabra es 2 euros, y
el de cada centímetro cuadrado 5, se cumplen los precios pagados por
los comercios vecinos. Es decir:
Pregunta de Elección Múltiple
1. Últimamente juan está observando que gasta mucho en el teléfono móvil, por lo que desea saber cuánto le cuesta el establecimiento de llamada y el minuto de conversación. Al mirar en internet el consumo semanal, resulta que la semana pasada le facturaron 40,4 € por 50 llamadas que tuvieron una duración de 140 minutos. La anterior, le cobraron 38,4 € por 60 llamadas y 120 minutos de conversación. Plantea un sistema de ecuaciones que ayude a Juan a resolver su problema.
Fuente propia
a) x = nº de llamadas, y = precio del establecimiento de llamada. El sistema queda:
b) x = cantidad de minutos hablados, y = precio del establecimiento de llamada. El sistema queda:
c) x = precio del establecimiento de llamada, y = precio de cada minuto hablado. El sistema queda:
Incorrecto!
Incorrecto!
Correcto!
2. En el taller de Paco hay coches y motos, en total hay 13 vehículos y 36 ruedas. Plantea un sistema de ecuaciones para averiguar cuantos coches y cuántas motos hay en el taller.
Bajo licencia de creative commons
a) x = nº de coches, y = nº de motos, el sistema queda:
b) x = nº de coches, y = nº de motos. El sistema queda:
c) x = nº de motos, y = nº de coches. El sistema queda:
Correcto!
Incorrecto!
Incorrecto!
3. Pedro, el padre de Alberto, es 28 años mayor que él, y dentro de 15 años la edad de Pedro será el doble que la de su hijo Alberto. Plantea un sistema de ecuaciones para averiguar cuántos años tiene cada uno en la actualidad.
Bajo licencia de creative ccommons
a) x = edad de Pedro, y = edad de Alberto. El sistema queda:
b) x = edad de Pedro, y = edad de Alberto. El sistema queda:
c) x = edad de Pedro, y = edad de Alberto. El sistema queda:
Incorrecto!
Correcto!
Incorrecto!
4. Tengo en mi hucha monedas de 1 euro y de 2 euros. En total tengo 15 euros y 9 monedas. Plantea un sistema de ecuaciones para averiguar cuantas monedas tengo de cada clase.
Bajo licencia de creative commons
a) x = nº de monedas de 1€, y = nº de monedas de 2€. El sistema queda:
b) x = nº de monedas de 1€, y = nº de monedas de 2€. El sistema queda:
c) x = nº de monedas de 1€, y = nº de monedas de 2€. El sistema queda:
Incorrecto!
Correcto!
Incorrecto!
Pregunta de Elección Múltiple
1. Resuelve el sistema de ecuaciones que has planteado en el primer problema y di a Juan el precio del establecimiento de llamada y el de cada minuto hablado.
a) x = precio del establecimiento de llamada = 0, 25€ = 25 céntimos
y = precio del minuto hablado = 0, 27€ = 27 céntimos
b) x = precio del establecimiento de llamada = 0,21€ = 21 céntimos
y = precio del minuto hablado = 0,22€ = 22 céntimos
c) x = precio del establecimiento de llamada = 0,22€ = 22 céntimos
y = precio del minuto hablado = 0, 21 € = 21 céntimos
Incorrecto!
Incorrecto!
Correcto!
Ya sólo te queda comprobar que las soluciones son realmente las correctas, para ello, recuerda que tienes que sustituir las soluciones en el sistema y observar que se cumple la igualdad. Vamos a comprobar las soluciones de los problemas de la autoevaluación.
1.
2. Resuelve el sistema de ecuaciones que has planteado en el segundo problema para averiguar cuántos coches y cuántas motos hay en el taller de Paco.
a) x = nº de coches = 4
y = nº de motos = 9
b) x = nº de coches = 6
y = nº de motos = 7
c) x = nº de ches = 5
y = nº de motos = 8
Incorrecto!
Incorrecto!
Correcto!
Ya sólo te queda comprobar que las soluciones son realmente las correctas, para ello, recuerda que tienes que sustituir las soluciones en el sistema y observar que se cumple la igualdad. Vamos a comprobar las soluciones de los problemas de la autoevaluación.
2.
3. Resuelve el sistema de ecuaciones que has planteado en el tercer problema, y di las edades actuales de Pedro y de su hijo Alberto.
a) x = edad de Pedro = 41 años
y = edad de Alberto = 13 años
b) x = edad de Pedro = 40 años
y = edad de Alberto = 14 años
c) x = edad de Pedro = 38 años
y = edad de Alberto = 16 años
Correcto!
Ya sólo te queda comprobar que las soluciones son realmente las correctas, para ello, recuerda que tienes que sustituir las soluciones en el sistema y observar que se cumple la igualdad. Vamos a comprobar las soluciones de los problemas de la autoevaluación.
3.
Incorrecto!
Incorrecto!
4. Resuelve el sistema que has planteado en el cuarto problema, y di cuántas monedas de cada clase tengo en mi hucha.
a) x = nº de monedas de 1€ = 2
y = nº de monedas de 2€ = 7
b) x = nº de monedas de 1€ = 3
y = nº de monedas de 2€ = 6
c) x = nº de monedas de 1€ = 4
y = nº de monedas de 2€ = 5
Incorrecto!
Correcto!
Ya sólo te queda comprobar que las soluciones son realmente las correctas, para ello, recuerda que tienes que sustituir las soluciones en el sistema y observar que se cumple la igualdad. Vamos a comprobar las soluciones de los problemas de la autoevaluación.