6.2. Sistemas de tres ecuaciones lineales.

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Se llama ecuación lineal con tres incógnitas a la suma de las tres incógnitas, multiplicadas por números, e igualada la suma a otro número. Por ejemplo, 6·x-2·y+9·z=24.

Esta definición puede ampliarse a cualquier número de incógnitas. La única exigencia es que las mismas vayan multiplicadas por números y sumadas. Puede darse el caso de que las incógnitas aparezcan en distinto miembro, en ese caso basta agrupar todas en uno y en el otro el término independiente. Por ejemplo, la ecuación 6x+9z=24+2y es equivalente a la anterior.

Se llama solución de la ecuación lineal a un conjunto de valores que al sustituirlos en las incógnitas hacen que se verifique la igualdad. Por ejemplo, los valores x=2, y=3, z=2 son solución de la ecuación anterior ya que se verifica que 6·2-2·3+9·2 = 12-6+18 = 24.

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Llamamos sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas a un sistema que adopta la siguiente forma:

 

 

Donde x,y,z son las incógnitas a resolver y los coeficientes que multiplican a las mismas números reales cualesquiera.Como en el caso de los sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas resolver un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas consiste en hallar los valores de x,y,z, en el caso de que existan, que cumplen las igualdades anteriores, por ejemplo la solución del siguiente sistema.

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Para que un sistema de ecuaciones tenga una única solución deberemos tener al menos tantas ecuaciones como incógnitas.
Por tanto si planteamos problemas con tres incógnitas, deberemos obtener tres ecuaciones para encontrar su única solución.

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Decimos que dos sistemas de ecuaciones son equivalentes cuando ambos tienen la misma solución.

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Propiedades de los sitemas de ecuaciones
  1. Si en un sistema de ecuaciones se cambia el orden de las ecuaciones o el orden de las incógnitas el sistema resultante es equivalente al primero.
  2. Si la ecuación ax+by=c se multiplica o divide por un número distinto de cero, la ecuación resultante es equivalente a la anterior.Por ejemplo la ecuación 10x+5y=25 es equivalente a la ecuación 2x+y=5 que se ha obtenido dividiendo todos los coeficientes entre 5.
  3. en un sistema a una ecuación se le suma o resta otra ecuación distinta (las cuales pueden estar multiplicadas por distintos números), el sistema resultante es equivalente al primero.

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Método de Gauss

Este método consiste en transformar el sistema que queremos resolver en otro escalonado equivalente.


Para conseguirlo podemos usar las siguientes transformaciones ya vistas en el apartado anterior:

 

  • Cambiar de orden dos ecuaciones.
  • Multiplicar o dividir los dos miembros de una ecuación por un mismo número.
  • Cambiar una ecuación por la suma de ésta más otra ecuación.

Si te fijas, estas transformaciones son las mismas que se aplicaban en el apartado 1.3 cuando resolvíamos un sistema por el método de reducción. Había que multiplicar las ecuaciones por números para que cuando las sumaras una de las incógnitas se fueran.


Vamos a ver con un ejemplo cómo se resuelve un sistema utilizando este método.

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Un sistema de ecuaciones lineales se dice que es Compatible si tiene solución y en caso contrario se llama Incompatible.

Si el sistema tiene una única solución recibe el nombre de Compatible Determinado. Si tiene infinitas soluciones se llama Compatible Indeterminado.

Para saber el número de soluciones de un sistema lo haremos a partir de los coeficientes de las incógnitas.

Si  El sistema tiene una única solución y se llama sistema compatible determinado (SCD).

Si  El sistema no tiene solución y se llama sistema incompatible (SI).

Si   El sistema tiene infinitas soluciones y se llama sistema compatible indeterminado (SCI).

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Si resolvemos gráficamente un sistema de ecuaciones, es decir, si representamos gráficamente las rectas que lo forman pueden ocurrir los siguientes casos:
  1. Las dos rectas se cortan en un punto, entonces, ese punto es la solución del sistema y el sistema es compatible determinado.
  2. Las dos rectas son paralelas, entonces, no se cortan en ningún punto, por tanto, el sistema no tiene solución, es incompatible.
  3. Las dos rectas resultan ser la misma recta, es decir, se cortan en infinitos puntos, por tanto el sistema tiene infinitas soluciones, es compatible indeterminado