1. Generalidades
Importante
El punto de contacto entre una circunferencia y una recta o entre circunferencias se denomina punto de tangencia.
NOMENCLATURA: para resolver los problemas de tangencias usaremos la siguiente nomenclatura simplificada para nombrar los distintos elementos que intervienen en toda tangencia usando las siguientes letras:
- O = centro de circunferencia.
- C = circunferencia.
- r = recta (s, t, m, ...)
- R = radio.
- P = punto.
- T = punto de tangencia (T1, T2, T3, ...)
- Tangencias entre circunferencia y recta:
1ª Propiedad
2ª Propiedad
3ª Propiedad
4ª Propiedad
5ª Propiedad
- Tangencias entre circunferencias:
1ª Propiedad
2ª Propiedad
3ª Propiedad
4ª Propiedad
Importante
La recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio correspondiente por el punto de tangencia.
MÉTODOS PARA RESOLVER PROBLEMAS DE TANGENCIAS:
Los problemas de tangencias se pueden resolver aplicando distintos métodos, de mayor o menor complejidad.
- Analítico: consiste en reducir las condiciones dadas a otras que lleven a un problema ya resuelto, se dibuja una figura de análisis proporcional a la dada y se buscan y encuentran las propiedades que se exigen en su trazado. El procedimiento más aplicado en estos métodos es el de dilatación-contracción, que consiste en plantear el ejercicio de forma que se pueda encontrar una solución análoga; un ejemplo es cuando se reducen los datos planteados sumándolos o restándolos.
- Lugares Geométricos: consiste en aplicar los lugares geométricos que a menudo definen la posición de los centros de las circunferencias tangentes: arco capaz, circunferencias tangentes, rectas paralelas, etc.
- Homotecia: el problema se transforma en otro. primero se estudia si es conveniente aplicar este método, si es así se transforma y una vez resuelto dicho problema, con los datos transformados, se aplica la homotecia inversa para que los datos transformados se conviertan en la solución pedida.
- Potencia e Inversión: son transformaciones geométricas semejantes a la homotecia que permiten resolver problemas de tangencias complejos, pues no tiene solución aplicando los métodos anteriores.
Importante
Una figura de análisis que contenga los datos del problema te permitirá conocer el número de soluciones posibles y el método de resolución a aplicar.
CLASIFICACIÓN:
- TANGENCIAS ENTRE RECTA Y CIRCUNFERENCIA: estudiaremos las condiciones que se deben dar para que una recta y una circunferencia sean tangentes y los datos que se ofrecen para poder resolver los distintos problemas que se presenten.
- TANGENCIAS ENTRE CIRCUNFERENCIAS: se exponen las condiciones que deben cumplir dos o más circunferencias para que sean tangentes entre sí, además de los datos que se deben de ofrecer para poder resolver este tipo de problemas.
- TANGENCIAS ENTRE RECTAS Y CIRCUNFERENCIAS: en este apartado se desarrollan las condiciones que deben cumplir varias rectas y circunferencias para ser tangentes entre sí. Los ejercicios son más complejos, puesto que intervienen más elementos.