2.2. Ecuaciones de segundo grado

Si una ecuación polinómica se puede reducir a la forma ax2+bx+c=0 se denomina de segundo grado o cuadrática.

Este tipo de ecuación puede tener dos, una o ninguna solución real y para resolverla se utiliza la fórmula:

x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4\cdot a \cdot c}}{2 \cdot a}

 

Por ejemplo si queremos resolver la ecuación x2-5x+6=0, tenemos en cuenta que a=1, b=-5 y c=6, así aplicando la fórmula nos quedaría:

 

x=\frac{5\pm\sqrt{5^2-4\cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1} = \frac{5\pm\sqrt{25-24}}{2} = \frac{5\pm 1}{2}

 

 

De manera que las soluciones serían:

x_1=\frac{5 + 1}{2} = \frac{6}{2} = 3; \ x_2=\frac{5 - 1}{2} = \frac{4}{2} = 2

Actividad

Si la expresión resultante es de la forma ax2+bx=0 o ax2+c=0 se les denomina ecuaciones de segundo grado incompletas.

Además las soluciones en cada uno de los casos son:

Ecuación imcompleta
Soluciones
ax^2+bx=0
x_1=0, \ x_2= -\frac{b}{a}
ax^2+c=0

Ambas ecuaciones se pueden resolver aplicando la fórmula general, en el primer caso sustituyendo c=0 y en el segundo caso sustituyendo b=0.

Sin embargo, se pueden resolver de una forma más sencilla de la que obtenemos también las soluciones anteriores.

  • Si tenemos la expresión ax2+bx=0, como todos los términos de la izquierda contienen a la x se extrae esta como factor común: x·(ax+b)=0, es decir, tenemos el producto de dos factores igualado a cero. Eso significa que uno de los dos debe valer cero.
    • Si es el primero obtenemos la primera solución x=0.
    • Si es el segundo, tendríamos que ax+b=0 que es una ecuación de primer grado bastante sencilla de resolver y queda .
    Conclusión las soluciones serían:
x_1=0, \ x_2= -\frac{b}{a}

 

  • Si tenemos la expresión ax2+c=0 en primer lugar despejamos la x2
ax^2=c \ \Rightarrow \ x^2=-\frac{c}{a}

 

    A continuación aplicamos raíz cuadrada a ambos lados de la igualdad obteniendo las dos soluciones una positiva y la otra negativa:

Resolvamos una ecuación de cada uno de los tipos anteriore.

En primer lugar vamos a resolver una ecuación de segundo grado sin término independiente, por ejemplo:

 

Como indicabamos anteriormente lo primero que hacemos es sacar factor común x:

 

Tenemos pues el producto de dos términos igualado a cero, esto quiere decir que uno de los dos tiene que ser igual a cero. Si es el primero obtenemos la primera solución x1=0 y si es el segundo obtenemos una ecuación de primer grado, al resolverla obtenemos la segunda solución:

 

Resolvamos una ecuación de segundo grado incompleta sin el término lineal, por ejemplo: 

 

En primer lugar despejamos la x2:

 

Para despejar la x aplicamos la raiz cuadrada a los dos términos de la igualdad quedándonos:

Reflexión

Resuelve las siguientes ecuaciones:

  1. x2-4x-5=0
  2. 6x2-12x=0
  3. 4x2-9=0

Pregunta de Selección Múltiple

Pregunta

Retroalimentación

Pregunta

Retroalimentación

Pregunta

Retroalimentación