2.2. Ecuaciones de segundo grado
Si una ecuación polinómica se puede reducir a la forma ax2+bx+c=0 se denomina de segundo grado o cuadrática.
Este tipo de ecuación puede tener dos, una o ninguna solución real y para resolverla se utiliza la fórmula:
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Por ejemplo si queremos resolver la ecuación x2-5x+6=0, tenemos en cuenta que a=1, b=-5 y c=6, así aplicando la fórmula nos quedaría:
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De manera que las soluciones serían:
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Actividad
Si la expresión resultante es de la forma ax2+bx=0 o ax2+c=0 se les denomina ecuaciones de segundo grado incompletas.
Además las soluciones en cada uno de los casos son:
Ecuación imcompleta |
Soluciones |
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Ambas ecuaciones se pueden resolver aplicando la fórmula general, en el primer caso sustituyendo c=0 y en el segundo caso sustituyendo b=0.
Sin embargo, se pueden resolver de una forma más sencilla de la que obtenemos también las soluciones anteriores.
- Si tenemos la expresión ax2+bx=0, como todos los términos de la izquierda contienen a la x se extrae esta como factor común: x·(ax+b)=0, es decir, tenemos el producto de dos factores igualado a cero. Eso significa que uno de los dos debe valer cero.
- Si es el primero obtenemos la primera solución x=0.
- Si es el segundo, tendríamos que ax+b=0 que es una ecuación de primer grado bastante sencilla de resolver y queda
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- Si tenemos la expresión ax2+c=0 en primer lugar despejamos la x2:
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A continuación aplicamos raíz cuadrada a ambos lados de la igualdad obteniendo las dos soluciones una positiva y la otra negativa:
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Resolvamos una ecuación de cada uno de los tipos anteriore.
En primer lugar vamos a resolver una ecuación de segundo grado sin término independiente, por ejemplo:
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Como indicabamos anteriormente lo primero que hacemos es sacar factor común x:
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Tenemos pues el producto de dos términos igualado a cero, esto quiere decir que uno de los dos tiene que ser igual a cero. Si es el primero obtenemos la primera solución x1=0 y si es el segundo obtenemos una ecuación de primer grado, al resolverla obtenemos la segunda solución:
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Resolvamos una ecuación de segundo grado incompleta sin el término lineal, por ejemplo:
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En primer lugar despejamos la x2:
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Para despejar la x aplicamos la raiz cuadrada a los dos términos de la igualdad quedándonos:
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Reflexión
Resuelve las siguientes ecuaciones:
- x2-4x-5=0
- 6x2-12x=0
- 4x2-9=0
