2.3. Límites infinitos y en el infinito
Hay veces que se pueden o deben tener controlados aspectos cotidianos. Nuestro peso, el número de personas en lista de espera para una operación, o los gastos de electricidad de nuestra casa. Pero otras veces hay cosas que se desbordan y no hay forma de contenerlas como el exceso de comidas cuando nos encontramos en Navidad, las obras en la ciudad cuando se acercan elecciones municipales o el número que se adscriben a la página de Facebook de un programa de éxito. En este apartado vamos a hablar de esos casos en que una función no se puede controlar.
En el applet siguiente tienes representada la función
. Ve cambiando los valores de la variable x y observa hacia que valores tiende la función cuando la variable x tiende a 0 por la izquierda (rojo) y por la derecha (azul).
Utiliza el deslizador "a" ("b") para hacer tender x a 0 por derecha (por izquierda).
Applet de Hugo A. Chamorro en Geogebra, compartido por IEDAmatemáticas.
Habrás observado que a medida que se acerca a 0 por la izquierda la función va tomando valores cada vez más negativos, mientras que si se acerca por la derecha la función se va haciendo cada vez más grande. Como sabrás esta función nunca puede tomar el valor 0, puesto que es una función racional y el denominador no puede valer 0.
Importante
Diremos que la función f(x) tiende a infinito cuando la variable tiende hacia un valor a, y el valor de la función se hace cada vez más grande o más pequeño a medida que nos acercamos al valor a. Se escribe como

Como es evidente la función tiende a
ó
según las situaciones.
Por ejemplo, en la función anterior tendríamos
![]()
Caso práctico
cuando x tiende a 1.
Hemos visto que ocurre en el caso en que la función se hace infinito cuando la variable se acerca a un valor, ¿pero qué pasa si es la variable la que tiende a infinito? Por supuesto puede darse el caso de que la función tambien se haga infinito. Por ejemplo , la función
es evidente que mientras más grande se haga x más se hara la función y mientras más pequeña x más pequeña f(x). Sin
embargo hay veces que no ocurre eso. Observa el siguiente applet donde aparece representada la función
y fíjate hacia qué valores tiende la función cuando la x tiende a
y
.
Utiliza el deslizador "a" ("b") para hacer crecer x (decrecer x).
Applet de Hugo A. Chamorro en Geogebra, compartido por IEDAmatemáticas.
Importante
Si a medida que el valor de la variables se hace muy grande o muy pequeño la función tambien se hace cada vez más pequeña o más grande diremos que

Si mientras más grande o más pequeña se hace la variable la función tiende a estabilizarse en un valor fijo b diremos entonces que

Evidentemente habrá que estudiar cuando la variable tiende a
y a
, pues puede darse el caso de que en ambos sentidos no tome el mismo valor.
Eso no ocurre en el caso de la función del applet anterior, pues en este caso
![]()
Comprueba lo aprendido
Haz una tabla de valores en los que des valores muy grandes y muy pequeños a la variable y completa el valor de los siguientes límites.
Caso práctico
En estas dos presentaciones, puedes ver cómo se comportan en el infinito las funciones polinómicas:
Para saber más
Para que no te pierdas con tantos conceptos nuevos te ofrecemos este estupendo resumen sobre el cálculo de límites que nos ofrece la página 3con14.
