1.1. Empecemos por calcular el más fácil

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Antes de empezar con el concepto de determinante debemos comentarte algo. El cálculo del determinante de una matriz es una herramienta que nos va a permitir resolver problemas más o menos cotidianos, pero es solamente eso, una herramienta.

 

Suponemos que recuerdas, por ejemplo, el método de sustitución para resolver un sistema de ecuaciones. Pasa algo parecido. En muchas situaciones de la vida cotidiana te puedes encontrar cuadros de números, como viste en el tema anterior, pero nunca te vas a encontrar un determinante por la calle. Quizás por eso este tema parezca un poco más abstracto, pero como verás en los temas que siguen, sin este concepto hay muchos problemas que sería muy complicado resolver.

Importante

El determinante de una matriz cuadrada es un número que se asocia a dicha matriz y que nos va a permitir, por ejemplo, saber si la matriz tiene o no inversa, o el número de soluciones de un sistema de ecuaciones.

 

Si tenemos la matriz su determinante se representa de distintas formas:

podemos escribir det(A), |A| ó .

Como puedes ver por la última expresión, se escribe igual que una matriz pero se limita por líneas rectas en lugar de por paréntesis.

La cuestión que nos preocupa ahora es, ¿cómo calculamos ese número que hemos llamado determinante? Antes de comenzar con los casos más simples insistimos que un determinante sólo puede calcularse si la matriz es cuadrada.


El determinante de una matriz cuadrada de orden dos es igual al producto de los elementos de la diagonal principal menos los de la diagonal secundaria. Es decir:

 

Así el determinante que hemos visto antes sería


Si te fijas en los subíndices que aparecen en la definición del determinante anterior puedes observar que en cada producto hay un elemento de cada fila (observa el subíndice primero de cada término en ambos productos) y un término de cada columna (fíjate ahora en los segundos subíndices de cada término a). Esta característica se va a cumplir en todos los determinantes.

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  1. El valor del determinante es .
  2. Para que el valor del determinante sea 4 es necesario que a valga .

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Si ahora subimos un peldaño de la escalera, vamos a ver cómo se calcula el determinante de una matriz de orden 3. La regla que da ese cálculo recibe el nombre de Regla de Sarrus. El desarrollo que da lugar al determinante está compuesto de seis términos, tres positivos y tres negativos. Los positivos corresponden al producto de los elementos de la diagonal principal y las paralelas a ella completadas con el valor extremo y los negativos lo mismo pero respecto a la diagonal secundaria.

En la siguiente ventana tienes un archivo de Flash en el que puedes ver dos métodos de recordar cómo se desarrolla. El más utilizado es el segundo, aunque en el primero viene una regla que quizás te sea más clara, pero recuerda que lo que ves en el primer método es una ayuda para recordar el desarrollo, es decir, no tiene ningún sentido un determinante con cinco columnas y tres filas.

Montaje tomado del Banco de Imágenes y Sonidos del Instituto de Tecnologías Ecucativas (antiguo ISFTIC).

En el siguiente video puedes ver un ejemplo de como hallar determinantes de orden 2 y 3. Intenta tú primero aplicar los cálculos, y después puedes comprobar con los resultados que aparecen en el video si has resuelto bien los determinantes.

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Ya lo único que queda es que compruebas si has aprendido a calcular los determinantes contestando a las siguientes cuestiones.

1) El valor del determinante vale .

 

2) Al desarrollar el determinante obtenemos como resultado.

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