2. Sistemas de tres ecuaciones con tres incógnitas

Hay multitud de situaciones y problemas cuya solución se obtiene resolviendo sistemas con muchas ecuaciones e incógnitas. Si ya tiene mérito resolver problemas usando dos ecuaciones, imagínate con tres, cuatro, ... Es casi un ejercicio de "malabarismo". Gauss, dio una respuesta a este problema, resolviendo sistemas con el mismo número de ecuaciones que incógnitas.

malabares

Imagen de ihor_konst en Pixabay. Licencia Pixabay

El método de resolución de Gauss lleva su nombre debido a que Gauss lo describió en un artículo detallando los cálculos que hizo para determinar la órbita del asteroide Pallas. Los parámetros de la órbita tenían que determinarse mediante observaciones del asteroide durante seis años (1803-1809). Esto dio lugar a seis ecuaciones con seis incógnitas.

Gauss demostró cómo resolver estas ecuaciones, reemplazándolas sistemáticamente por un nuevo sistema en el que sólo la primera ecuación tenía seis incógnitas, la segunda cinco, la tercera sólo cuatro, y así sucesivamente, hasta que la sexta ecuación tenía una sola incógnita. Este método también se denomina método de reducción en cascada o de triangulación.

Importante

El método de Gauss consiste en obtener sistemas equivalentes al que queremos resolver, cada vez más sencillos, hasta obtener uno muy simple con forma triangular.

El sistema que buscamos debe tener una única incógnita en su última ecuación, dos en la penúltima, ...., y todas las incógnitas en la primera ecuación.

Las soluciones se obtienen finalmente de abajo a arriba. Esto es, resolvemos la última, sustituimos el valor obtenido en la penúltima, y así sucesivamente.

En la siguiente vídeo se explica de manera sencilla, clara y mediante un ejemplo el método de Gauss. En este caso, resuelve un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas.

 

Vídeo de lasmatematicas.es alojado en Youtube

Comprueba lo aprendido

Pregunta

Resolver por el método de gauss el siguiente sistema de ecuaciones:

\left\{\begin{matrix} 2x+5y & = & 16\\  x+3y-2z & = & -2\\  x+z & = & 4 \end{matrix}\right.

Respuestas

x=1, y=2, z=1

x=-2, y=4, z=6

x=0, y=1, z=-1

Retroalimentación

Pregunta

Resuelve por el método de Gauss el siguiente sistema de ecuaciones:

\left\{\begin{matrix} x+y & = & 1\\  y+z & = & -2\\  x+z & = & 3 \end{matrix}\right.

Respuestas

x=0, y=1, z=6

x=0, y=0, z=1

x=3, y=-2, z=0

Retroalimentación

Pregunta

Resuelve por el método de Gauss el siguiente sistema de ecuaciones:

\left\{\begin{matrix} 5x+2y+3z & = & 4\\  2x+2y+z & = & 3\\  x-2y+2z & = & -3 \end{matrix}\right.

Respuestas

x=1, y=1, z=-1

x=0, y=1, z=0

x=2, y=3, z=0

Retroalimentación

Ejercicio Resuelto

Resolver el siguiente sistema por el método de gauss: