1. Portada

Datos de la portada

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Ayuda: 

• Pxhere es un banco imágenes con licencia Creative Commons, por lo que se pueden utilizar libremente para uso personal no comercial, modificar y distribuir, respetando así los límites de la ley de propiedad intelectual.
• Canva es una web de diseño gráfico que ofrece una colección de 8000 plantillas gratuitas para 100 tipos de diseño con múltiples finalidades. Si eliges alguna plantilla, vas a poder cambiar todos los elementos. Es fácil e intuitiva de manejar.
• Playground ai es una herramienta de inteligencia artificial que te permite crear imágenes gratis introduciendo, tan solo, una descripción de la misma. Los usuarios pueden acceder a ella a través de una interfaz web y crear arte, publicaciones, presentaciones, logotipos y más. Playground AI utiliza algoritmos de aprendizaje profundo para crear y editar imágenes de forma intuitiva y personalizable.

2. Investigación

La transferencia de calor

Actividad 1. 

Averigua en qué consiste la transferencia de calor por convección.  Realiza un breve resumen del proceso de convección y pon ejemplos. Inclúyelo en tu proyecto como introducción al mismo.

Actividad 2.

Elabora una reflexión, basándote en ejemplos, sobre cómo utilizamos la Ley de enfriamiento de Newton en nuestra vida cotidiana. Inclúyela en tu proyecto como un apartado del mismo.

Actividad 3. 

Averigua quién fue Isaac Newton, en qué siglo vivió, y señala sus principales aportaciones a la ciencia. Inclúyelo en tu proyecto como un apartado del mismo.

Ayuda:

• Puedes consultar en Wikipedia la Ley del enfriamiento de Newton.
• Puedes consultar en Wikipedia la biografía de Isaac Newton
• El siguiente video es un tutorial educativo que explica los procesos de transferencia de calor, específicamente la conducción, la convección y la radiación. El video detalla cómo el calor, una forma de energía, se transmite de un cuerpo a otro si tienen diferentes temperaturas, y cómo este siempre fluye del cuerpo con la temperatura más alta al cuerpo con la temperatura más baja hasta que se alcanza el equilibrio térmico.

• La siguiente presentación: "Ley de enfriamiento de Newton", te ayudará a  comprender cómo el calor se transfiere por convección y cómo este fenómeno impacta en nuestra vida cotidiana y en diversas áreas de la ingeniería.

• El siguiente video es un recurso educativo de contenido básico, en el que se explican las tres formas de transferir calor y la diferencia entre la conducción, la convección y la radiación.

3. Modelo matemático

Como has descubierto en el apartado anterior, la ley de enfriamiento de Newton describe la tasa de cambio de la temperatura de un objeto en función del tiempo. Está basada en la suposición de que la tasa de cambio de la temperatura es proporcional a la diferencia entre la temperatura del objeto y la temperatura del medio ambiente circundante.

Cuando un objeto caliente está en contacto con el ambiente más frío, el calor fluye desde el objeto hacia el ambiente. Cuanto mayor sea la diferencia de temperatura entre el objeto y el ambiente, más rápido se enfriará el objeto. 

La ecuación que resuelve el problema de esta ley de enfriamiento y que describe cómo cambia la temperatura del objeto en función del tiempo, tomando en cuenta la temperatura inicial, la temperatura ambiente, y la constante de proporcionalidad k, viene dada por la expresión:

T(t) = T_A ​+ (T₀​−T_A​) · e^−kt

• T(t): La temperatura del objeto en un tiempo t. Es una función de la variable independiente t, que representa el tiempo.
• T_A​: La temperatura ambiente constante. Es la temperatura del medio circundante, que se asume constante en el tiempo.
• T₀​: La temperatura inicial del objeto en t=0. Es un valor específico que se necesita como condición inicial.
• k: Una constante positiva que representa la proporcionalidad entre la diferencia de temperatura y la tasa de cambio de la temperatura. Esta constante depende de las propiedades particulares del objeto y del medio, como la conductividad térmica y la geometría del objeto.
• t: La variable independiente, que representa el tiempo.

Teniendo en cuenta la ecuación anterior, realiza las siguientes actividades e inclúyelas en tu proyecto:

Actividad 4.

Supón que un vaso lleno de agua se encuentra a una temperatura de $T_{0}$ ºC,  que el valor de la temperatura ambiental es de $T_{a}$ º C y el valor de k son los dados en el siguiente applet de geogebra. Escribe la expresión de la ecuación anterior para estos valores y responde a las cuestiones que se plantean posteriormente. Recuerda hacer una captura de los datos, puesto que cambiarán a cada entrada en el reto. No olvides que  debes añadirla a tu trabajo para que tu profesor o profesora conozca los datos con los que estás realizando dicho trabajo:

1. ¿Qué tipo de función has obtenido? 
2. Calcula la temperatura del agua al cabo de: 1 minuto, 2 minutos, 7 minutos y 8 minutos. Representa los valores obtenidos en los ejes de coordenadas. Dibuja la gráfica correspondiente teniendo en cuenta el tipo de función de que se trata y los valores que has representado.
3. ¿La función es creciente o decreciente? Escribe los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función.
4. ¿Cuánto disminuyó la temperatura entre el primer y segundo minuto? ¿Y entre el séptimo y octavo minuto?

Actividad 5.  

Supongamos que la expresión que relaciona la temperatura del café y el tiempo transcurrido desde que salió de la máquina viene dada por la siguiente expresión, donde ln representa el logaritmo neperiano (logaritmo en base "e"), T la temperatura en grados centígrados y t el tiempo transcurrido en minutos. Recuerda hacer una captura para adjuntarla en tu trabajo por que cada vez que entres saldrá una expresión diferente.

1. Aplicando la definición de logaritmo, despeja T para obtener la expresión de la temperatura en función del tiempo t transcurrido.
2. ¿Cuál es el valor de la temperatura ambiente?
3. ¿A qué temperatura salió el café de la máquina? (Temperatura inicial)
4. ¿Cuál es la temperatura del café al cabo de 9 minutos?

Actividad 6.

Sabiendo que la temperatura de una taza de té va disminuyendo según la siguiente expresión y que la temperatura al cabo de 5 minutos es de 59 º C, ¿Cuál es el valor de la constante k? Recuerda capturar la imagen de la expresión para adjuntarla en tu tarea porque cada vez que entres será diferente.

Justifica las respuestas aportando los cálculos conducentes a la solución.

4. Resolvemos el reto

4.1 Establecemos el contexto

Actividad 7.

Imaginemos que hemos pedido una taza de café en un bar y, al salir de la máquina, sabemos que su temperatura es de 93ºC. La temperatura ambiente en el lugar es de 23ºC. Describe matemáticamente cómo cambia la temperatura del café en función del tiempo haciendo uso de la función de enfriamiento.

Es importante destacar que en esta etapa desconocemos el valor de la constante de proporcionalidad k.

4.2 Determinación de la Constante k

Actividad 8.

Para averiguar el valor de k, necesitamos conocer la temperatura del café después de un intervalo de tiempo determinado. Los datos los tienes en el siguiente applet de geogebra, haz una captura para adjuntarla en tu trabajo porque cada vez que entres serán diferentes. Utilizando esta información, calcula el valor específico de k, expresando su valor redondeado con tres decimales.

4.3 Resolución del Reto

Actividad 9.

Con la información y las condiciones descritas anteriormente, nuestro reto es calcular el tiempo necesario para que la temperatura del café disminuya hasta los 55ºC. Determina cuántos minutos debemos esperar para disfrutar del café a esta temperatura ideal.

4.4 Gráfica de la función de enfriamiento

Actividad 10.

1. Representa en un sistema de ejes coordenados la función que has obtenido para describir la variación de la temperatura del café con respecto al tiempo. 
2. ¿Posee la función una asíntota horizontal? Si la respuesta es afirmativa, escribe su ecuación. 
3. ¿La temperatura del café se estabilizará a lo largo del tiempo?. ¿A qué valor converge la temperatura del café a medida que el tiempo transcurre y aumenta? 

4.5 Exploramos y obtenemos conclusiones

Actividad 11.

1. Si la constante de proporcionalidad k tiene un valor de 0,106 y la diferencia entre la temperatura inicial del café y la temperatura ambiente es de 70º, ¿el tiempo requerido para que el café se enfríe hasta los 55ºC permanece constante, o varía a medida que la temperatura ambiente aumenta? Explica qué ocurre en este caso, justificando la respuesta con los fundamentos matemáticos pertinentes.
2. Existen tres parámetros clave que determinan cómo se enfría el café: la temperatura inicial ( T_0​ ), la temperatura ambiente ( T_ambiental​ ), y la constante de proporcionalidad (k). ¿Cuál de estos elementos, al ser modificado, provoca un descenso más pronunciado de la temperatura? Para analizar cómo los cambios en estos parámetros afectan la forma de la gráfica, puedes utilizar la herramienta gráfica interactiva disponible en el apartado 'Ayuda'. Realiza capturas de pantalla de la gráfica con diferentes valores de k, T₀​, y T_ambiental​ para respaldar tu respuesta, e inclúyelas en tu proyecto.