6. Resolución de problemas

1. Actividades varias de comprensión

Actividad 1: Tablas de amortización.

Elabora la tabla de amortización de un préstamo de  150.000 €  al  3,5 %  durante  10  años.

Actividad 2: Préstamo financiero.

Dado un préstamo de las siguientes características:

  • Deuda 9.000 €;
  • Tanto nominal anual pagadero trimestralmente 6%;  
  • Duración: 10 años;  

En estas condiciones, se pide:
a) Cuantía de las cuotas.
b) Capital pendiente de amortizar al principio del cuarto año.
c) Cuantía del capital amortizado en la primera y cuarta cuota.
d) Cuantía del interés correspondiente a la decimotercera cuota.

Actividad 3. Cancelación préstamo.

Sea un préstamo definido por las siguientes condiciones:

  • D= 25.000 euros; 
  • Tanto nominal anual pagadero mensualmente i= 6,50%;
  • Duración n= 8 años.
  • Comisión de apertura: 1%.


Con estos datos, se solicita que halles:
a) La cuantía de las cuotas mensuales.
b) El capital vivo al principio del quinto año.
c) La descomposición del sexto término amortizativo.
d) La variación del saldo entre el 4º y 5º año.
e) El tanto efectivo de coste para el prestatario si la operación llega a término.

Actividad 4: Modificación de hipotecas.

Nos ofrecen una operación de préstamo hipotecario en el Banco Azul con las siguientes condiciones:

  • Do= 72.000 €;  n= 15 años; 
  • Tanto nominal del primer año: 5,25%; 
  • Resto: Euríbor+1,75 puntos.
  • Términos amortizativos mensuales constantes. 
  • Comisión de cancelación anticipada: 1%. 

A la vista del aumento del índice Euríbor, dos años más tarde se nos plantea la cancelación de la operación anterior para acogernos a una oferta del Banco Mar que ofrecía préstamos a tipo fijo en las siguientes condiciones:

  • Tipo nominal: 6%; 
  • Duración máxima: 12 años.

En estas condiciones, se pide:
a) Términos amortizativos del préstamo inicial durante los dos primeros años de la operación sabiendo que el valor del índice de referencia para el segundo año ha sido del 4,75%.
b) Valor de cancelación del préstamo inicial al cabo de esos dos primeros años.
c) Términos amortizativos de los dos primeros años en la nueva operación de préstamo con el Banco Mar, si la duración es de 12 años y las cuotas son semestrales constantes durante el año vigente y crecientes anualmente en un 2% acumulativo, para poder así cancelar la operación inicial.

Actividad 1: Ver la presentación

Actividad 2: Ver la resolución

Actividad 2. Dado un préstamo de las siguientes características:
Deuda 9.000 €; Tanto nominal anual pagadero trimestralmente 6%;  Duración: 10 años;  En estas condiciones, se pide:
a) Cuantía de las cuotas.
b) Capital pendiente de amortizar al principio del cuarto año.
c) Cuantía del capital amortizado en la primera y cuarta cuota.
d) Cuantía del interés correspondiente a la decimotercera cuota.

Resolución.
a) En primer lugar determinamos  la cuantía de las cuotas a partir de su fórmula, teniendo en cuenta que $D=9000\ €; i=0.06; n=10$
$a=\frac{D*\frac{i}{4}*\left(1+\frac{i}{4}\right)^{40}}{\left(1+\frac{i}{4}\right)^{40}-1} \to a=300.84\ €$

b) Capital pendiente de amortizar al principio del cuarto año. Este capital pendiente es $D_{12}$ ya que en ese tiempo han transcurrido 12 trimestres. De la fórmula $D_{12}=a \frac{1-\left(1+\frac{i}{4}\right)^{-28}}{\frac{i}{4}}$ y sustituyendo adecuadamente, obtenemos $D_{12}=6837.19\ $

c) Cuantía del capital amortizado en la primera y cuarta cuota. Con nuestra notación, nos están solicitando los términos $A_1\ y\ A_4$. Tenemos en cuenta que $I_1=\frac{i}{4}D\to A_1=a-I_1$. Realizando los cálculos pertinentes, hallamos que $I_1=135\ €;\ A_1=165.84\ €$.
Para el valor de $A_4$, tenemos en cuenta que $A_4=A_1\left(1+\frac{i}{4}\right)^3\to A_4=173.42\ €$

d) Cuantía del interés correspondiente a la decimotercera cuota. Nos piden ahora $I_{13}$.
Sabemos que $D_{12}=a\frac{1-\left(1+\frac{i}{4}\right)^{-28}}{\frac{i}{4}}\to I_{13}=\frac{i}{4}D_{12}$. Realizando los cálculos reseñados, obtenemos los valores $D_{12}=6837.19\ €; I_{13}=102.56\ €$

Actividad 3: Ver la resolución

Actividad 3.- En un préstamo definido por:
D= 25.000 euros;  Tanto nominal anual pagadero mensualmente i= 6,50%; Duración n= 8 años; Comisión de apertura: 1%. 
Con estos datos, obténgase:
a) Cuantía de las cuotas mensuales.
b) Capital vivo al principio del quinto año.
c) Descomposición del sexto término amortizativo.
d) Variación del saldo entre el 4º y 5º año.
e) Tanto efectivo de coste para el prestatario si la operación llega a término.

Resolución.

a) Determinamos la cuota mensual a partir de la fórmula:
$a=\frac{D*\frac{i}{12}*\left(1+\frac{i}{12}\right)^{96}}{\left(1+\frac{i}{12}\right)^{96}-1}\to a=\frac{25000*\frac{0.065}{12}*\left(1+\frac{0.065}{12}\right)^{96}}{\left(1+\frac{0.065}{12}\right)^{96}-1}=334.66\ €$

b) Capital vivo al principio del quinto año. Debemos hallar $D_{48}$. Para ello, sabemos que:
$D_{48}=a \frac{1-\left(1+\frac{i}{12}\right)^{-48}}{\frac{i}{12}}\to D_{48}=334.66 \frac{1-\left(1+\frac{0.065}{12}\right)^{-48}}{\frac{0.065}{12}}; D_{48}=14111.6\ €$

c) Descomposición del sexto término amortizativo. Hemos de calcular $a=A_{12}+I_{12}$.
Ahora bien, $D_5=a \frac{1-\left(1+\frac{i}{12}\right)^{-91}}{\frac{i}{12}}\to D_5=334.66\frac{1-\left(1+\frac{0.065}{12}\right)^{-91}}{\frac{0.065}{12}}\to D_5=23992.95\ €$

d) Variación del saldo entre el 4º y 5º año. Nos piden que calculemos la diferencia $D_{48}-D_{60}$. Como ya tenemos $D_{48}=14111.6\ €$, nos falta hallar $D_{60}$. Para ello, $D_{60}\text{==}a \frac{1-\left(1+\frac{i}{12}\right)^{-36}}{\frac{i}{12}}\to D_{60}==334.66\frac{1-\left(1+\frac{0.065}{12}\right)^{-36}}{\frac{0.065}{12}}; D_{60}=10918.98\ €$. En definitiva, $D_{48}-D_{60}=3192.62\ €$

e) Tanto efectivo de coste para el prestatario si la operación llega a término. Ver el simulador del Banco de España.

Calculadora TAE hipotecario. Banco de España.
Calculadora TAE hipotecario. Banco de España. (CC BY-SA)

Actividad 4: Ver la resolución

Actividad 4.- Nos ofrecen una operación de préstamo hipotecario en el Banco Azul con las siguientes condiciones:
Do= 72.000 €;  n= 15 años; Tanto nominal del primer año: 5,25%; Resto: Euríbor+1,75 puntos.
Términos amortizativos mensuales constantes. Comisión de cancelación anticipada: 1%. 
A la vista del aumento del índice Euríbor, dos años más tarde se nos plantea la cancelación de la operación anterior para acogernos a una oferta del Banco Mar que ofrecía préstamos a tipo fijo en las siguientes condiciones:
Tipo nominal: 6%; Duración máxima: 12 años.
En estas condiciones, se pide:
a) Términos amortizativos del préstamo inicial durante los dos primeros años de la operación sabiendo que el valor del índice de referencia para el segundo año ha sido del 4,75%.
b) Valor de cancelación del préstamo inicial al cabo de esos dos primeros años.
c) Términos amortizativos de los dos primeros años en la nueva operación de préstamo con el Banco Mar, si la duración es de 12 años y las cuotas son semestrales constantes durante el año vigente y crecientes anualmente en un 2% acumulativo, para poder así cancelar la operación inicial.

Resolución.-
a) En el primer año como el Tanto Nominal Anual es  5,25% tenemos que:
$a=\frac{D·\frac{i}{12}·\left(1+\frac{i}{12}\right)^{180}}{\left(1+\frac{i}{12}\right)^{180}-1}\to a=\frac{72000·\frac{0.0525}{12}·\left(1+\frac{0.0525}{12}\right)^{180}}{\left(1+\frac{0.0525}{12}\right)^{180}-1}; a=578.8 \ €$.
Al comienzo del segundo año se modifican las condiciones de la hipoteca y se debe considerar el índice Euríbor+1,75 puntos, es decir, 4.75%+1.75%=6.5%. En tal caso, tenemos que hallar en primer lugar el capital pendiente, $D_{12}$ que ascenderá, según la fórmula al valor:
$D_{12}=a\frac{1-\left(1+\frac{i}{12}\right)^{-168}}{\frac{i}{12}}=68757.2\ €$. Con este dato, ya podemos calcular la cuota correspondiente al segundo año:
$a=\frac{D_{12}·\frac{i}{12}·\left(1+\frac{i}{12}\right)^{168}}{\left(1+\frac{i}{12}\right)^{168}-1}\to a=\frac{68757.2·\frac{0.0650}{12}·\left(1+\frac{0.0650}{12}\right)^{168}}{\left(1+\frac{0.0650}{12}\right)^{168}-1}=624.38\ €$

b) El valor de cancelación del préstamo inicial al cabo de estos 2 primeros años será el término $D_{24}$.
$D_{24}=a\frac{1-\left(1+\frac{i}{12}\right)^{-156}}{\frac{i}{12}}\to D_{24}=624.38\frac{1-\left(1+\frac{0.0650}{12}\right)^{-156}}{\frac{0.0650}{12}}=65642.1\ €$. Ahora bien, tenemos que añadir a esta cantidad los gastos de cancelación que suponen un 1% de la deuda, es decir, $D'=1.01·65642.1=66298.5\ €$.

c) Para hallar las cuotas de la nueva operación procederemos con una tabla donde colocamos las distintas cuotas a pagar del nuevo préstamo:

Cuotas Cuantía Cuotas Cuantía
1 $a·(1+\frac{i}{2})^{23}$ 2 $a·(1+\frac{i}{2})^{22}$
3 $1.02·a·(1+\frac{i}{2})^{21}$ 4 $1.02·a·(1+\frac{i}{2})^{20}$
5 $1.02^2·a·(1+\frac{i}{2})^{19}$ 6 $1.02^2·a·(1+\frac{i}{2})^{18}$
7 $1.02^3·a·(1+\frac{i}{2})^{17}$ 8 $1.02^3·a·(1+\frac{i}{2})^{16}$
9 $1.02^4·a·(1+\frac{i}{2})^{15}$ 10 $1.02^4·a·(1+\frac{i}{2})^{14}$
11 $1.02^5·a·(1+\frac{i}{2})^{13}$ 12 $1.02^5·a·(1+\frac{i}{2})^{12}$
... ... ... ...
21 $1.02^{10}·a·(1+\frac{i}{2})^3$ 22 $1.02^{10}·a·(1+\frac{i}{2})^2$
23 $1.02^{11}·a·(1+\frac{i}{2})^1$ 24 $1.02^{11}·a·(1+\frac{i}{2})^0$
Suma $S_1=a\left(1+\frac{i}{2}\right)^{23}·\frac{1.02^{12}\left(1+\frac{i}{2}\right)^{-24}-1}{1.02\left(1+\frac{i}{2}\right)^{-2}-1}$ Suma $S_2=a\left(1+\frac{i}{2}\right)^{22}·\frac{1.02^{12}\left(1+\frac{i}{2}\right)^{-24}-1}{1.02\left(1+\frac{i}{2}\right)^{-2}-1}$
$Total=S_1+S_2$ $S_1+S_2=a\left(1+\frac{i}{2}\right)^{22}\frac{1.02^{12}\left(1+\frac{i}{2}\right)^{-24}-1}{1.02\left(1+\frac{i}{2}\right)^{-2}-1}\left(2+\frac{i}{2}\right)$

 $a·\left(1+\frac{i}{2}\right)^{22}\frac{1.02^{12}\left(1+\frac{i}{2}\right)^{-24}-1}{1.02\left(1+\frac{i}{2}\right)^{-2}-1}\left(2+\frac{i}{2}\right)=D'·(1+\frac{i}{2})^{24}\to a=\frac{66298.55\left(1+\frac{0.06}{2}\right)^{24}}{\left(1+\frac{0.06}{2}\right)^{22}\frac{1.02^{12}\left(1+\frac{0.06}{2}\right)^{-24}-1}{1.02\left(1+\frac{0.06}{2}\right)^{-2}-1}\left(2+\frac{0.06}{2}\right)}=3551.55\ €$

Por tanto, las dos primeras cuotas serían $a=3551.55\ €$ y $1.02a=1.02·3551.55=3622.58\ €$

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