1.3. Límites de sucesiones
Algunas veces los términos que componen una sucesión son cada vez más grandes, otras cada vez más pequeños, y en un tercer caso tienden a estabilizarse alrededor de un valor determinado. En este apartado vamos a estudiar esta interesante característica de las sucesiones.
Importante
El límite de una sucesión an, es aquel número al que tiende la sucesión al aumentar enormemente la variable n.
Si la sucesión tiene como límite infinito, diremos que la sucesión diverge, mientras que si se acerca a un número real, diremos que converge a dicho número y que es el límite de la sucesión.
Analicemos la sucesión an=n2+n. Los primeros términos de dicha sucesión son 2,6,12,20,... y apreciamos que tal como n crece, el término de la sucesión aumenta, ya que estamos elevando un número natural al cuadrado y sumándole dicho número. Al hacerse n, infinitamente grande, el límite de dicha sucesión será infinito.
Sin embargo, el límite de una sucesión también puede ser muy pequeño. La sucesión tiene como primeros términos
Al aumentar n, estamos divididiendo 1 entre numeros enormes, ya que estamos elevando 2 a números naturales cada vez mayores. Al dividir entonces números, cada vez estamos mas cercanos a 0 y diremos que la sucesión
converge y su límite es 0
Debemos resaltar que el límite nunca se alcanza, pero cada vez estamos más próximo a él.
Importante
Llamamos sucesión infinitésima o nula si tiene límite 0.
En la escena de Geogebra de abajo si mueves el deslizador dándole valores a n, puedes apreciar como los valores de la sucesión tienden a 0. Y si analizas esta otra
, observarás como, la sucesión se va acercando poco a poco al número 2
Algunos ejemplos de sucesiones infinitésimas o nulas los has visto más arriba, otros ejemplos son: y
.
Importante
La sucesión cuyo término general es es estrictamente creciente y está acotada superiormente por 3. Por tanto es convergente, su límite es un número irracional que se representa por "e".
Este número es la base de los logaritmos neperianos que veremos en el apartado 4 de este tema.
Ejercicio Resuelto
Hallar el .