2. Progresiones aritméticas

Johann Carl Friedrich Gauss, llamado el "príncipe de las matemáticas", fue un niño precoz. Tenía 10 años de edad cuando un día en el colegio el maestro pidió a los alumnos, quizás para que lo dejarán tranquilo durante un buen rato, que sumaran los 100 primeros números naturales. Trascurrido unos pocos minutos, Gauss se acercó a la mesa del profesor con el resultado correcto de la suma: 5.050.

¿Cómo lo consiguió? ¿Sumó las cien cifras de forma rápida? ¿Cuál fue el razonamiento del pequeño Gauss? 

Muy fácil, pero a la vez ingenioso. Gauss escribió dos veces la sucesión, la primera en el orden natural de 1 a 100, y la otra de 100 a 1. Se dió cuenta de que la suma de los pares de números extremos era siempre la misma, 101. Dicha suma aparecía 100 veces, es decir 100·101= 10.100 era el resultado de sumar dos veces lo que había pedido el maestro, por tanto, bastaba dividir entre 2 esa cantidad. Así obtuvo el 5.050 que sorprendió tanto al maestro como a sus compañeros.

   1 2 3 4  ...  97  98  99 100
   100  99  98  97  ...  4  3  2  1
Suma  101  101  101  101  ...  101  101  101  101

No es la primera vez que aparece 5.050 en este tema, ¿recuerdas que era el número triángular correspondiente a 100? El motivo es bien sencillo. En realidad, el número triangular que ocupa el lugar no es más que la suma de los primeros números naturales. Por ejemplo, el que ocupa el quinto lugar es el resultado de sumar 1 + 2+ 3 +  4 + 5 = 15.

Número triangular 5
Imagen de elaboración propia

La sucesión formada por los números naturales es el ejemplo más sencillo de un tipo de sucesión con nombre propio, la progresión aritmética. Como puedes ver, no por ser sencillas quiere decir que no se pueden usar en muchos contextos.