3.1. Término general

Te has parado alguna vez a pensar a que velocidad puede extenderse un rumor. Supongamos que Juan se entera de una información que le resulta interesante y se la comunica a 3 amigos a través de una red social tardando un minuto en ello. Posteriormente estos 3 amigos la transmiten cada uno a otros tres en el siguiente minuto, y así sucesivamente. ¿Cómo evolucionaría el número de personas que tienen conocimiento de la información a lo largo del tiempo? La secuencia que obtenemos sería la siguiente: 1 (Juan), 3,9,27,81,243... En cinco minutos 243 personas estarían al tanto de la información. ¿Te sorprende esto? A los fenómenos que evolucionan de esta forma decimos que siguen una progresión geométrica.

Fotografía de LoboStudioHamburg en Pixabay. Licencia Pixabay

Importante

Se llama progresión geométrica a toda sucesión en la que cada término, exceptuando el primero, es el producto del anterior por una cantidad fija llamada razón.

Es decir , donde es la razón, y .

En la progresión geométrica de los granos de trigo la razón es 2, un número mayor que 1 en valor absoluto. Esto implica que los términos de la progresión se vayan haciendo muy grande en valor absoluto, como hemos podido comprobar con los granos que habría que poner en la casilla 64.

Pero también podemos considerar progresiones geométricas en que la razón es número menor que 1 en valor absoluto. Observa con detenimiento el siguiente vídeo:

 

Vídeo de tutomate alojado en Youtube

La progresión geométrica anterior , la razón , y el término general

Ya veremos cómo podemos calcular las sumas de las dos progresiones geométricas anteriores.

Al igual que ocurre con las progresiones aritméticas, existe una ley de formación para las geométricas.

Importante

Una progresión geométrica cuyo primer término es y de razón , tiene como término general:

Ejercicio Resuelto

Halla los cinco primeros términos de una progresión geométrica de la que sabemos que y .

Comprueba lo aprendido

Interpola tres medios geométricos entre 3 y 48.

Interpolar tres medios geométricos entre dos números a y b quiere decir intercalar tres números c, d y e entre a y b, de tal forma que los cinco números a, c, d, e y b formen una progresión geométrica.

Este problema se puede extender a cualquier cantidad de números entre dos números conocidos. Por ejemplo, interpolar seis medios geométricos entre a y b quiere decir intercalar seis números entre ellos, de tal forma que los ocho números, ordenados de menor a mayor, formen una progresión geométrica.

Para saber más sobre interpolación geométrica puedes ir a este enlace.

Para resolver el problema planteado, completa las siguientes frases.

Tenemos que buscar tres números a, b y c, de tal forma que 3, a, b, c y determinen una progresión geométrica.

El primer término de la progresión es 3 y el 48. Sabemos que a5 = a1·r4, donde es la razón. Sustituyendo: = 3·r4.

Despejando nos queda que r4 = , por tanto r = .

Tenemos entonces que los tres números buscados son , y , que junto con 3 y 48 formarán la progresión geométrica.

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Comprueba lo aprendido

A continuación, algunos ejercicios para practicar con el término general de una progresión geométrica

Escena de Miguel Ángel Cabezón Ochoa en Proyecto Descartes. Licencia CC