2.1. Término general

No solo los triángulos determinan un tipo de sucesión numérica, también es posible jugar con las letras del abecedario para generar sucesiones, por ejemplo, con la T.

Tres T
 Imagen de elaboración propia

¿Cuántos cuadrados son necesarios para construir la primera T? ¿Y la segunda? ¿Y la tercera? ¿Y las sucesivas T?

En un principio parece que basta con contar los cuadrados: 6 para la primera, 10 para la segunda, 14 para la tercera... Pero si queremos conocer la regla de formación tendremos que fijarnos un poco más: 6 para la primera y después se añaden 4 cuadrados más a las sucesivas T.

Vamos a escribirlo utilizando la notación de sucesiones:

De lo anterior podemos deducir que .

A este tipo de sucesiones se las denomina progresiones aritméticas

Importante

Se llama progresión aritmética a toda sucesión en la que cada término, exceptuando el primero, es la suma del anterior más una cantidad fija llamada diferencia.

Es decir , donde es la diferencia y .

La sucesión anterior, la formada por los cuadrados necesarios para ir construyendo las sucesivas T, es una progresión aritmética en la que la diferencia vale 4.

Comprueba lo aprendido

Algunos de los ejemplos de sucesiones que hemos vista hasta ahora son progresiones aritméticas. Completa las siguientes afirmaciones.

  1. La sucesión formada por los números naturales es una progresión aritmética con diferencia igual a .

  2. Los múltiplos de 7 también forman una progresión aritmética en que d = .

  3. La sucesión determinada por las losetas necesarias para rodear las jardineras forman una progresión aritmética en la que d = .

Habilitar JavaScript

Comprueba lo aprendido

Pregunta

¿Cuál de las siguientes sucesiones se corresponden con una progresión aritmética?

Respuestas

5, -5, 5, -5, 5, -5...

-5, 0, 5, 10, 15, 20...

1, 11, 111, 1111, 11111...

50, 42, 34, 26, 18...

2, 4, 8, 16, 32...

Retroalimentación

En una progresión aritmética, si son conocidos su primer término y la diferencia es posible conocer cómodamente cualquier término, es decir, es muy fácil determinar su término general.

Lo anterior ya lo hemos podido comprobar en el caso de los cuadros que hacen falta para ir formando las sucesivas T y con las losetas necesarias para rodear las jardineras.

En general, solo hace falta razonar un poco sobre los primeros términos de la progresión aritmética:

 

Vídeo de Tutomate alojado en Youtube

Importante

Una progresión aritmética cuyo primer término es y de diferencia , tiene como término general:

En el caso de las losetas, y , por tanto .

Y en el de las T, y , por tanto .

Caso de estudio

La primera fila del patio de butacas del teatro Antonio Gala de mi ciudad, tiene 20 asientos, el resto de filas aumenta en 2 asientos respecto a la que tiene delante.

¿Cuántos asientos tiene la fila que ocupa el lugar 15?

Ejercicio Resuelto

De una progresión aritmética se conocen el valor del segundo y el quinto término, y .

Determinar el término general de la progresión.

Comprueba lo aprendido

A continuación, algunos ejercicios para practicar con progresiones aritméticas

Escena de Miguel Ángel Cabezón Ochoa en Proyecto Descartes. Licencia CC