3.2. Suma

Del mismo modo que ocurría con una progresión aritmética, también nos puede interesar en algunas ocasiones saber cuánto vale la suma de los términos de una progresión geométrica. Por ejemplo para saber cuántos granos de trigo debería entregar el rey a Sissa o demostrar que la suma de las potencias de vale 1.

Veamos cuáles son las fórmulas que nos permiten sumar algunos o muchos términos de una progresión geométrica.

 

Vídeo de Tutomate alojado en Youtube

Importante

  • La suma de los primeros términos de una progresión geométrica de razón es igual a:

  • Si la razón es, en valor absoluto, menor que 1, la suma de los infinitos términos de la progresión geométrica toma un valor finito y se calcula utilizando la fórmula:

Veamos el siguiente vídeo en el que se explica cuándo se puede realizar la suma de todos los términos de una progresión geométrica:

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Caso de estudio

Calcula el total de granos de trigo que tuvo que dar el rey a Sissa.
Recuerda que la progresión formada por los granos que corresponden a las 64 casillas es geométrica con y .

Ejercicio Resuelto

Demuestra que la suma de los infinitos términos de la sucesión formada por las sucesivas potencias de es 1.

Recuerda que esa sucesión es una progresión geométrica en la que y , por tanto .

Comprueba lo aprendido

Suma de los n primeros términos Suma de todos los términos

Escena de Miguel Ángel Cabezón Ochoa en Proyecto Descartes. Licencia CC

Escena de Miguel Ángel Cabezón Ochoa en Proyecto Descartes. Licencia CC

Curiosidad

Para terminar las curiosidades, ¿te acuerdas de Sissa Ben Dahir, el supuesto inventor del ajedrez? Aún tenemos pendiente saber si el rey le pudo pagar o no los granos de trigo que le correspondían.

Ya vimos que la suma total de granos de trigo ascendía a 1,844 · 1019. Si consideramos que 1000 granos de trigo pueden pesar unos 30 gramos, entonces un grano pesaría 0,03 gramos.

Por tanto, 1,844 · 1019 · 0,03 = 5,433 · 1017 gramos, que significan 5,433 · 1011 toneladas de trigo, y expresado en millones de toneladas, son 5,433 · 105.

Las produccion mundial de trigo para la cosecha 2012/13 es de 651,42 millones de toneladas.

Realizando una simple división, tenemos que 543.300:651,42 = 834,02 cosechas mundiales.

Es decir, harían falta 834 años de producción mundial de trigo actuales, para que el rey pagara su deuda a Sissa.

Seguro que el monarca no sabía nada de progresiones.