5. Límite de funciones. Continuidad

Importante
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Pensando en la prueba...
El estudio de la continuidad, aunque puede constituir una pregunta por sí sola, es también imprescindible para resolver ciertas cuestiones como son la representación de funciones o el estudio de la derivabilidad. Por lo que es importante no solo tener la idea intuitiva, sino también asociarla a su definición y al concepto de límite.
En cuanto a este último, aparece de forma recurrente en la prueba, sobre todo en lo que se refiere a la determinación de las asíntotas y de los límites laterales en un punto.
En este segundo tema se introducen dos conceptos fundamentales para el estudio de las funciones: límite y continuidad. Ambos están íntimamente ligados, siendo imposible estudiar cada uno de ellos sin que intervenga el otro.
Límite de una función en un punto
Estudiar el límite de una función en un punto consiste en saber cómo se comporta la función cuando nos acercamos a ese punto.
Si se acerca a
cuando
se aproxima al punto
, diremos que
es el límite de
en el punto
.
Lo anterior se expresa de la siguiente forma:.
- Si
se acerca a
cuando
se aproxima al punto
para valores menores que
, diremos que
es el límite por la izquierda de
en el punto
.
Y se expresa:
.
- Si
se acerca a
cuando
se aproxima al punto
para valores mayores que
, diremos que
es el límite por la derecha de
en el punto
.
Se escribe:
.
Si los dos límites anteriores coinciden, existe el y es igual a ese valor común.
Límite de una función en el infinito
Hasta ahora solo nos ha preocupado el límite de una función en un punto, pero también nos podemos preguntar qué ocurre con cuando
, la variable independiente, se aleja mucho del origen. Es decir, qué ocurre con
cuando
tiende a infinito. Tanto a más infinito como a menos infinito.
Si se acerca a
cuando
se hace muy grande en valor absoluto, diremos que
es el límite de
cuando
tiende a infinito.
Se expresa de la siguiente manera: .
Continuidad de una función
Sabemos que, conocida la gráfica de una función, podremos afirmar que es continua o no si podemos dibujarla sin levantar el lápiz del papel.
Podemos afirmar que una función no es continua en un punto por tres motivos: que no esté definida la función en dicho punto, que no exista el límite de cuando
tiende al punto, o que aún existiendo el límite y la función en el punto, ambos valores no coincidan. Es decir:
- Una función
se dice continua en un punto
, si
se aproxima a
cuando
se acerca a
.
- En caso contrario, la función se dirá discontinua en dicho punto.
- Una función que es continua en todos los puntos que está definida, se dirá continua.
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Imagen de elaboración propia. Haz clic para ampliar |
Asíntotas de una función
- Una función
tiene una asíntota vertical en el punto
, de ecuación
si alguno de los límites laterales en ese punto es más o menos infinito.
En ese caso, la gráfica de la función se aproxima a la asíntota condicionada por el signo que tenga el infinito.
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Imagen de elaboración propia |
- Si
tiende a infinito solo para valores positivos, diremos
tiende a más infinito. Y se escribe
. Cuando esto ocurre, la función tiene una asíntota horizontal en la recta
, para los valores positivos de
.
En el caso de quetienda a infinito solo para valores negativos, se dirá que
tiende a menos infinito. Se expresa
. Cuando esto ocurre, la función tiene una asíntota horizontal en la recta
, para valores negativos de
.
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Imagen de elaboración propia |
- Existen otro tipo de asíntotas, que suelen aparecer cuando la función es racional y el grado del numerador es mayor que el denominador. Se llaman asíntotas oblicuas.
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Imagen elaboración propia |

Caso de estudio
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Curso 2010/2011
Halla el valor de la constante para que la función

sea continua en todos los números reales.

Caso de estudio
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Curso 2009/2010
Dada la función
determina y representa sus asíntotas.