2. Números reales

Importante

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Pensando en la prueba...

Como verás al final del apartado, las actividades que han aparecido los últimos años consisten en racionalizar y simplificar expresiones con radicales. Sin embargo, el trabajo con números reales da mucho más de sí, ya que nos ayudará a resolver cuestiones que aparecerán pronto. Por ejemplo: expresar un dominio o interpretar un resultado dado en notación científica.

Además, recuerda que las formas son también importantes, ya que más de una vez tendrás que recurrir a aproximar un número para trabajar con su expresión decimal de una forma fiable.

Los números reales

Se llama número real a cualquier expresión decimal, ya tenga una cantidad finita o infinita de cifras. El conjunto de los números reales se denota por .

Se clasifican en:

    • Racionales (pueden expresarse como cociente de números enteros).

  • Irracionales (no racionales).


Los números reales cumplen una relación de orden que nos lleva a poder representarlos de forma unívoca y ordenada en un objeto matemático mitad numérico, mitad geométrico llamado recta real. Llenan completamente la recta, de tal forma que todo punto de la recta real tiene una expresión entera o decimal (exacta, periódica o no periódica).

Representación de decimales
Imagen de la wiki maralboran bajo CC

Para manejar estas expresiones decimales infinitas recurrimos a aproximarlas mediante expresiones decimales finitas, para lo que disponemos de varios métodos:

 Aproximación
Imagen de elaboración propia

Debes tener en cuenta que el trabajo con aproximaciones siempre implica que perdamos algo de fiabilidad en el resultado, es decir, que cometamos algún error. Tenemos dos formas de cuantificarlo:

    • A través del error absoluto, que es la diferencia entre el valor real de un número y su aproximación. Se suele tomar el valor absoluto de dicha diferencia.

  • A través del error relativo, que es el cociente entre el error absoluto y el valor del número. El error relativo se puede expresar en tanto por uno o en tanto por ciento. 

    Como decíamos al principio las formas también son importantes, y a veces el utilizar una notación adecuada puede simplificarnos mucho el trabajo. Este es el caso de la notación científica, que en algunos casos nos dará una aproximación, y nos ayudará a comparar magnitudes por muy grandes o pequeñas que sean, y solo teniendo en cuenta la potencia de 10 que la acompaña.

    Un número escrito en notación científica se compone de tres partes:

    Notación científica
    Imagen de elaboración propia

     

    El coeficiente es un número decimal con una única cifra entera distinta de cero y dos o tres cifras decimales significativas.

    La base es siempre el número 10.

    Y el exponente, que indica el número al que se eleva la base, es un número entero.

    En el siguiente enlace descubrirás cómo pasar de una notación a otra.

    Raíces

    Decimos que la raíz n-ésima de un número a es b, si b elevado a n es a. Es decir:

    raíz
    Imagen de elaboración propia

    Las raíces o radicales también se pueden expresar en forma de potencia haciendo uso de exponentes fraccionarios. De esta forma, se puede expresar como . Por lo tanto, para operar con raíces podemos aplicar las propiedades de las potencias.

     Radicales

    Pinchando en la imagen de la izquierda, puedes descubrir cómo gracias a una guía de la página 3con14:

      • Operar con radicales

      • Simplificar radicales

    • Las peculiaridades de las raíces con índice par e impar...

    Y por supuesto racionalizar, que es el proceso por el cual hacemos desaparecer las raíces del denominador (de esta forma, podemos operar con fracciones recurriendo al m.c.m.):

    Casos para racionalizar

    Caso de estudio

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    Curso 2009/2010

    Racionalice y simplifique la fracción


    Caso de estudio

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    Curso 2010/2011

    Racionalice las expresiones:

    a.

    b.