5. Límite de funciones. Continuidad

Importante

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Pensando en la prueba...

El estudio de la continuidad, aunque puede constituir una pregunta por sí sola, es también imprescindible para resolver ciertas cuestiones como son la representación de funciones o el estudio de la derivabilidad. Por lo que es importante no solo tener la idea intuitiva, sino también asociarla a su definición y al concepto de límite.
En cuanto a este último, aparece de forma recurrente en la prueba, sobre todo en lo que se refiere a la determinación de las asíntotas y de los límites laterales en un punto.

En este segundo tema se introducen dos conceptos fundamentales para el estudio de las funciones: límite y continuidad. Ambos están íntimamente ligados, siendo imposible estudiar cada uno de ellos sin que intervenga el otro. 

Límite de una función en un punto

Estudiar el límite de una función en un punto consiste en saber cómo se comporta la función cuando nos acercamos a ese punto.

Si se acerca a cuando se aproxima al punto , diremos que es el límite de en el punto .

Lo anterior se expresa de la siguiente forma:.

  • Si se acerca a cuando se aproxima al punto para valores menores que , diremos que es el límite por la izquierda de en el punto .

Y se expresa: .

  • Si se acerca a cuando se aproxima al punto para valores mayores que , diremos que es el límite por la derecha de en el punto .

Se escribe: .

Si los dos límites anteriores coinciden, existe el y es igual a ese valor común.

 

Límite de una función en el infinito

Hasta ahora solo nos ha preocupado el límite de una función en un punto, pero también nos podemos preguntar qué ocurre con cuando , la variable independiente, se aleja mucho del origen. Es decir, qué ocurre con cuando  tiende a infinito. Tanto a más infinito como a menos infinito.

Si se acerca a cuando se hace muy grande en valor absoluto, diremos que es el límite de cuando tiende a infinito.

Se expresa de la siguiente manera: .

Continuidad de una función

Sabemos que, conocida la gráfica de una función, podremos afirmar que es continua o no si podemos dibujarla sin levantar el lápiz del papel.

Podemos afirmar que una función no es continua en un punto por tres motivos: que no esté definida la función en dicho punto, que no exista el límite de cuando tiende al punto, o que aún existiendo el límite y la función en el punto, ambos valores no coincidan. Es decir:

  • Una función se dice continua en un punto , si se aproxima a cuando se acerca a .

  • En caso contrario, la función se dirá discontinua en dicho punto.

  • Una función que es continua en todos los puntos que está definida, se dirá continua.
 Continuidad
Imagen de elaboración propia. Haz clic para ampliar

 

Asíntotas de una función

  • Una función tiene una asíntota vertical en el punto , de ecuación si alguno de los límites laterales en ese punto es más o menos infinito.

En ese caso, la gráfica de la función se aproxima a la asíntota condicionada por el signo que tenga el infinito.

Asíntota vertical 
Imagen de elaboración propia
  • Si tiende a infinito solo para valores positivos, diremos tiende a más infinito. Y se escribe . Cuando esto ocurre, la función tiene una asíntota horizontal en la recta , para los valores positivos de .

    En el caso de que tienda a infinito solo para valores negativos, se dirá que tiende a menos infinito. Se expresa . Cuando esto ocurre, la función tiene una asíntota horizontal en la recta , para valores negativos de .
Asíntota horizontal
Imagen de elaboración propia
  • Existen otro tipo de asíntotas, que suelen aparecer cuando la función es racional y el grado del numerador es mayor que el denominador. Se llaman asíntotas oblicuas.
Asíntota oblicua
 Imagen elaboración propia

Caso de estudio

 

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Curso 2010/2011

Halla el valor de la constante para que la función

sea continua en todos los números reales.


Caso de estudio

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Curso 2009/2010

Dada la función

determina y representa sus asíntotas.