4. Funciones elementales

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Pensando en la prueba...

Estamos ante el primer tema de análisis cuyo objetivo es el estudio de las funciones elementales. Como su propio nombre indica, elemental hace referencia a fundamental y primordial. Por tanto son los primeros pasos en el campo de las funciones y estos deben ser certeros.

En la prueba es frecuente que nos pidan representar funciones, por lo que debemos saber de qué tipo son (lineales, polinómicas, racionales...), y conocer sus propiedades y métodos concretos de representación nos facilitará mucho el camino.

Definición y formas de expresión

Se define función real de variable real, como una relación que asocia a un número de un conjunto inicial (subconjunto de los números reales), otro número de un conjunto final (números reales). El número  es único, es decir, a no se le puede asociar más de un número.

A las funciones se les suele llamar , y la relación se expresa de la siguiente manera: .

La variable , la que es objeto de estudio de la función, recibe el nombre de variable independiente. En tanto que la variable , dado que sus valores dependen de , se denomina variable dependiente.

Formas de expresar una función
Imagen de elaboración propia
  • Llamaremos dominio de una función al conjunto de valores que toma la variable independiente, . Lo denominaremos .

  • En tanto que, llamaremos recorrido de al conjunto de valores que toma la variable dependiente, . Lo denotaremos .

El camino más fácil de determinar el dominio de una función es conocer su gráfica o su expresión algebraica. En el caso del recorrido, la gráfica también es un buen medio, pero la fórmula no suele ser de gran ayuda en la mayoría de los casos.

Tipos de funciones

    • Llamamos funciones lineales a las funciones cuya expresión algebraica es de la forma , con un número real. Al número se le llama pendiente de la recta (gráfica de la función lineal). El dominio de una función lineal es todo , y excepto para el caso en que la pendiente , el recorrido también es todo . Si la pendiente , la función lineal es creciente (las gráficas de las funciones siempre se recorren de izquierda a derecha), en tanto que si , la función es decreciente.

 

  • A las funciones cuya expresión algebraica es del tipo , donde , y son números reales y , se les denomina funciones cuadráticas y su gráfica es una parábola. Si el coeficiente entonces, la parábola va orientada hacia arriba, y si la parábola está orientada hacia abajo. El dominio de cualquier función cuadrática son todos los números reales. La gráfica es una parábola con el eje de simetría paralelo al eje de ordenadas, y para saber el recorrido es necesario conocer el vértice de dicha parábola.

    Si te fijas, la expresión analítica de ambas funciones es un polinomio, por esto ambas funciones pertenecen a un grupo más amplio llamado funciones polinómicas, de las que a continuación te ofrecemos un resumen:
Funciones polinómicas
Resumen de 3con14.com bajo CC
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    • Una función se dice una función definida a trozos si no está definida mediante una única expresión en todo su dominio, de tal manera que dependiendo del trozo o intervalo que se considere estará definida de una forma diferente.

      El dominio de una función definida a trozos es la unión de cada uno de los intervalos en los que está dividida, si bien hay que tener en cuenta los valores en los que no esté definida la expresión correspondiente.

      Generalmente una función definida a trozos se expresa de la siguiente forma:

  • A las funciones cuya expresión algebraica es del tipo proporcionalidad inversa donde , , y son números reales y , se les denomina funciones racionales, y su gráfica es una hipérbola. Las siluetas de todas estas funciones son muy similares. Pueden estar desplazadas, ser más o menos abiertas, crecer o decrecer, en función de los parámetros ,, y . El dominio de estas funciones racionales es todo menos el número donde se anula el denominador, es decir, donde

 

  • Si tenemos una función real , podemos definir la función valor absoluto de como:

    valor absoluto

    En el siguiente pdf puedes ver un resumen de estos últimos tipos de funciones, completado con algo de funciones irracionales. Te recomendamos que prestes especial atención a la parte de funciones racionales (proporcionalidad inversa) para repasar las asíntotas y las ramas infinitas que presentan:
resumen funciones
Imagen de 3con14.com bajo CC
  • Funciones trigonométricas: la función seno es aquella que a un número real le asocia el seno de ese número, es decir, . La función coseno la que a un número real le asocia el coseno de ese número, es decir, . Por último, la tangente la que a un número real le asocia la tangente de ese número, es decir, .

 

  • Las funciones del tipo ; donde es un número real positivo () y distinto de 1, se llaman funciones exponenciales.

 

Composición de funciones. Función inversa

Dadas dos funciones, y , se llama función compuesta de con a la función que se construye del siguiente modo: .

La expresión la leemos como compuesta con de x. Para nombrarla comenzamos por la función que se encuentra a la derecha, más cerca de la , porque es la primera que actúa sobre esta variable.

 

Sean y dos funciones que cumplen que . Entonces decimos que y son inversas. A la función la representaremos como y a la función composición la llamaremos identidad.

Gráficamente una función es inversa de otra función cuando sus respectivas gráficas son inversas, es decir, son simétricas respecto de la bisectriz del primer y tercer cuadrante.

Caso de estudio

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Curso 2009/2010

Representa la gráfica de la función .

 

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Representa la función .