5.2. Ecuaciones logarítmicas

Importante

Las ecuaciones logarítmicas son aquellas en las que la incógnita aparece en el argumento o en la base del logaritmo. Para resolverlas habrá que aplicar la definición y las propiedades de los logaritmos, y pasarla a una expresión algebraica.

Cuando resolvemos esta ecuación hay que comprobar si las soluciones obtenidas sirven en la ecuación logarítmica ya que la base de un logaritmo puede ser cualquier número positivo menos el 1 y el argumento tiene que ser un número positivo.

Veamos algunos ejemplos:

$\log_x 16=4$ , para resolver esta ecuación tan solo hay que aplicar la definición de logaritmo y nos queda: . En realidad -2 también sería solución de la ecuación algebraica pero por definición la base de un logaritmo no puede ser un número negativo.
$2 \log(x-1)- \log(2x-3)= \log $\frac{2x-1}{3}$$

Primero aplicamos las propiedades de los logaritmos hasta quedarnos a ambos lados de la igualdad con un sólo logaritmo:

$\log\[(x-1)^2\]-\log(2x-3) = \log$\frac{2x-1}{3}$ \ \Rightarrow \ \log \[\frac{(x-1)^2}{2x-3}\]=\log $\frac{2x-1}{3}$$

De esta forma, los argumentos son iguales por lo que queda la ecuación:

Las soluciones de esta ecuación son x=0 y x=2. x=0 no puede ser solución de la ecuación logarítmica porque cuando sustituimos en la expresión log(x-1) el argumento saldría negativo, x=2 no da problemas en ninguno de los tres logarítmos, por tanto la solución de la ecuación es x=2.

$\ln(x+2)+\ln(x-2)=2\ln2+\ln3+\ln(x-3)$

Primero hay que indicar que la base del logaritmo no influye en la resolución de la ecuación, por tanto comenzamos aplicando las propiedades de los logaritmos para agruparlos a ambos lados de la igualdad:

$\ln \[(x+2) \cdot (x-2) \]=\ln (2^2)+\ln (3 \cdot (x-3)) \ \Rightarrow \\ \Rightarrow \ \ln(x^2-4)=\ln \[4\cdot (3x-9) \] \ \Rightarrow \\ \Rightarrow \ \ln(x^2-4)=\ln(12x-36)$