2.1. Tipos de discontinuidades

Vamos a ver las distintas discontinuidades que se pueden producir. Para ello vamos a hacer uso de las tres condiciones que debe cumplir una función para ser continua en un punto.

Importante

El primer tipo de discontinuidad que vamos a definir es la discontinuidad evitable.

Si tenemos una función , decimos que presenta una discontinuidad evitable en el punto cuando ocurre alguna de las siguientes cosas:

1.- Existe y existe pero son distintos. (cuando decimos que existe el límite, nos referimos a que ese límite es un número)

2.- No existe , pero existe

En este caso diremos que presenta una discontinuidad evitable en el punto . Se llama así ya que esta discontinuidad la podemos evitar definiendo

AV - Reflexión

Si tenemos la función

Comprueba que en y en presenta una discontinuidad de tipo evitable

Importante

Otro tipo de discontinuidad que se puede presentar es no evitable. Si tenemos una función , diremos que presenta una discontinuidad no evitable de primera especie cuando

es distinto del . Es decir, cuando los límites laterales son distintos. Podemos distinguir dos casos:

a) Si uno o los dos límites laterales son infinitos, la discontinuidad se llama de salto infinito.

b) Si los dos límites laterales son finitos, pero distintos, la discontinuidad se llama de salto finito.

AV - Reflexión

Consideremos ahora la función

Comprueba que presenta una discontinuidad de salto finito en

Ejemplo o ejercicio resuelto

Consideremos la función

Estudia la o las discontinuidades que presenta.

Represéntala en la pantalla que aparece más abajo y comprueba que los resultados obtenidos son ciertos

Retroalimentación

Sabemos que una función definida mediante una única expresión es continua en todo su dominio. Así, vamos a calcular el dominio de esta función

La función es una fracción de polinomios. Una fracción no va a existir cuando el denominador se anule, luego el dominio de esta función van a ser todos los valores que no anulen el denominador.

Calculamos entonces todos los valores que anulan el denominador:

Por tanto, el dominio de la función son todos los valores menos el -4, es decir o lo que es lo mismo .

Estudiemos el tipo de discontinuidad que presenta en .

1.- Veamos si existe , que no existe ya que

2.- Calculemos el límite. Para ello calculemos los límites laterales:

2.a.-

2.b.-

Luego la discontinuidad que presenta es no evitable de salto infinito.

Moviendo la rueda del ratón puedes ampliar y alejar determinados trozos de la función y de esta manera observar mejor lo que sucede en un entorno próximo. A continuación te dejamos el enlace a un manual sobre la introducción de funciones en Geogebra.

Applet alojado en GeoGebra. Licencia CC

AV - Actividad de Espacios en Blanco

Salpicadero
Imagen obtenida del Banco de Imágenes del ITE.

Los ingenieros de CITRENFOR han diseñado una nueva aplicación para el control de estabilidad de los coches que fabrican. La aplicación va a ir integrada en un pequeño chip que mejorará considerablemente el control de estabilidad.

La aplicación se basa en una función que, dependiendo de la altura en centímetros a la que se encuentre el lateral izquierdo del coche respecto al eje de las ruedas delanteras, corregirá la trayectoria de las ruedas. La función que rige todo este control de estabilidad es:

Los ingenieros quieren identificar problemas que ya tienen estipulados en un manual. Así, sabemos que:

.- Si en un punto de una función se presenta una discontinuidad evitable, según el manual que han elaborado, el error es el 834.

.- Si en un punto de una función se presenta una discontinuidad no evitable de salto finito, según el manual que han elaborado, el error es el 848.

.- Si en un punto de una función se presenta una discontinuidad no evitable de salto infinito, según el manual que han elaborado, el error es el 890.

.- Si en un punto de una función no se presenta ningún tipo de discontinuidad, según el manual que han elaborado, el error es el 000 (no existe error)

Teniendo en cuenta esto, podemos decir que:

.- En se presenta el error Rellenar huecos (1): JXUwMDYwJXUwMDAxJXUwMDA5 .

.- En se presenta el error Rellenar huecos (2): JXUwMDYwJXUwMDBiJXUwMDA3 .

.- En se presenta el error Rellenar huecos (3): JXUwMDYwJXUwMDBiJXUwMDA3 .

.- En se presenta el error Rellenar huecos (4): JXUwMDYwJXUwMDBjJXUwMDBj .

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