1.3. Teoremas de la continuidad
| En el apartado anterior vistes cuando una función es continua en un intervalo, de esta definición se deduce que una función que cumpla esta propiedad pasa de un valor a otro tomando todos los valores comprendidos entre esos dos, esta carácterística viene recogida en el llamado teorema de los valores intermedios. El cual presenta un caso particular recogido en el llamado teorema de Bolzano. Finalmente, una función continua en un intervalo cerrado tiene un máximo y un mínimo en dicho intervalo, hecho que recoge el teorema de Weierstrass. |
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Importante
Teorema de los valores intermedios
Sea f una función continua en [a,b]. Si c es un número real comprendido entre f(a) y f(b), existe al menos un 
tal que f(x)=c.
Un caso particular del anterior teorema es el que enunciamos a continuación.
Importante
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Teorema de Bolzano-Cauchy Si una función f(x) está definida en el intervalo [a,b] y es continua en el intervalo (a,b), y si en los extremos del intervalo los valores de la función f(a) y f(b) tienen los signos distintos, entonces entre a y b existe, por lo menos un valor |
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para el cual f(x) se anula. Es decir; 
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El teorema de Bolzano presenta una interesante aplicación para la obtención de raíces de ecuaciones algebraicas, como veremos en el siguiente ejercicio resuelto.
Caso práctico
Como aplicación del teorema de Bolzano vamos a probar que el polinomio 
tiene una raíz comprendida entre 0 y 1.
Importante
Teorema de Weierstrass
Si la función f(x) está definida y es continua en el intervalo [a,b], entonces tiene un máximo y un mínimo en [a,b], es decir, existen puntos c y d de [a,b] tales que 
y 
para todo 
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Te proponemos que visualices este vídeo para que te ayude a comprender el teorema y, además compruebes algunas de sus utilidades.
Teorema de Weierstrass
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