1.2. Las comparaciones son odiosas

Ya sabemos lo que es un sinónimo, ¿pero sabías que en matemáticas también existe ese término?

Sinónimos y antónimos por

David González Romero CC by 2.0

A la tasa de variación instantánea en a también la llamamos derivada en a.

Importante

Si tenemos una función llamamos derivada de la función en un punto a la tasa de variación instantánea de la función en el punto y se denota . Así, según la definición tenemos que:

Recuerda que para que exista este límite, deben existir los límites laterales y coincidir. Así, de la misma forma, podemos definir las derivadas laterales como:

.- Derivada por la derecha:

.- Derivada por la izquierda:

Geométricamente, la derivada de una función en un punto es la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en dicho punto.

Podemos comprobar en la escena de GeoGebra del apartado anterior, cómo efectivamente si hacemos coincidir a y b, la recta secante se convertirá en la recta tangente.

Ejemplo o ejercicio resuelto

Halla la pendiente de la recta tangente a la gráfica de

en el punto de abscisa x=-2.

AV - Actividad de Espacios en Blanco

Completa en la siguiente tabla las derivadas en los puntos de abscisas -2, -1, 0, 1, 2, 3 y 4 de la función f(x)=x2-2x.

 

x -2 -1
0
1
2
3
4
f'(x)

 

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Actividad

Si una función es derivable en un punto x = a, entonces es continua para x = a.

El reciproco es falso, es decir, hay funciones que son continuas en un punto y que, sin embargo, no son derivables.

Observa, la siguiente animación de GeoGebra. En ella puedes hacerte una idea intuitiva y gráfica de lo que es una función continua pero no derivable. Está relacionado con la "suavidad" de sus curvas.

Por cierto, efectivamente f(x)=|x| es continua en x=0 pero no derivable.

Caso de estudio

Estudiar la continuidad y derivabilidad de la función f(x)=|x-1|

Objetivos

En este enlace a la página vitutor, puedes encontrar algunos ejercicios resueltos sobre la relación existente entre continuidad y derivabilidad.