4.- Distancia entre dos puntos

Animación vectorial. Mariano Real.

Vídeo alojado en Youtube

Estantería.
Imagen del ITE

Llega el momento de tomar medidas en el plano y dar un paso más con los vectores. Ya conoces muchas de las magnitudes vectoriales que nos rodean pero debes saber que el uso también se lleva a otras facetas como la animación gráfica y la obtención de imágenes de gran nitidez pero que ocupen poco. Animaciones gráficas como las que estamos acostumbrados a observar en películas infantiles o en las películas 3D son el resultado de utilizar vectores y puntos que se encuentran a una distancia constante de otros que son movidos por esos vectores. En este caso vamos a introducir el mecanimo necesario para poder obtener medidas reales en el espacio de tres dimensiones.

Una vez que conozcamos la forma de obtener medidas reales con los elementos más básicos, es decir, midiendo la distancia que separa a dos puntos del espacio, observaremos algunos ejemplos que conjugarán la utilidad de los vectores en el espacio con la obtención de determinadas medidas.

Ánimo y no te pierdas en el espacio de tres dimensiones. Ya verás que muchas de las cuestiones que vamos a ver se pueden prever de forma intuitiva.

Uno de los usos cada vez más extendidos que solemos hacer de los vectores y distancia en el espacio es el que se deriva de la utilización de los GPS que, a modo de localizadores, son capaces de indicar la posición exacta en la que nos encontramos.

Importante

Intentamos ahora calcular la distancia entre dos puntos del espacio. Para ello vamos a utilizar la pantalla interactiva que aparece debajo de este texto. Partimos de dos puntos del espacio y . Para calcular la distancia entre estos dos puntos, observamos en la escena inferior que los puntos , y forman un triángulo rectángulo, por tanto

Pero según observamos en la imagen

También observamos en la imagen que

Por el teorema de Pitágoras

Por tanto

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En la escena de abajo puedes ver la distancia entre dos puntos P y Q. Si mueves estos puntos puedes ver como varía la distancia entre los mismos. Siempre puedes reiniciar la escena pulsando en el icono de la parte superior derecha, así como verla desde distintos puntos de vista moviendo el ratón sobre ella con el botón izquierdo pulsado.

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Por si te puede servir te dejamos esta ventana en la que podrás calcular la distancia entre dos puntos del espacio:

Ejemplo o ejercicio resuelto

En muchas de las animaciones gráficas que se realizan para juegos y gráficos, necesitamos calcular la distancia entre puntos característicos del objeto que estemos dibujando. En este caso vamos a plantearnos calcular distintas medidas en un objeto que vamos a utilizar más adelante. El objeto es un cubo y lo hemos representado en la ventana interactiva que observas más abajo. Los vértices del cubo tienen por coordenadas A=(5,5,6), B=(5,5,2), C=(5,1,2), D=(5,1,6), E=(1,5,6), F=(1,5,2), G=(1,1,2) y H=(1,1,6)
Necesitamos que calcules las siguientes distancias:
1.- d(A,B)

2.- d(A,H)

3.- d(A,C)

4.- d(A,G)

5.- Necesitamos calcular también el punto medio del cubo.

Ejemplo o ejercicio resuelto

El pulpo tiene 8 patas como observamos en la fotografía.

Pulpo.
Imagen obtenida del ITE

Para conseguir situar las ocho patas del pulpo se ha partido de un cuadrado sobre el que se ha situado otro cuadrado girado, consiguiendo los ocho puntos tal y como se observa en la imagen animada. El cuadrado primero tiene por vértices A, B, C y D. Los puntos de corte de los dos cuadrados determinan un octógono sobre el que se va a distribuir las patas del pulpo.

Observa en la imagen animada la forma en la que se obtienen los distintos vértices del octógono:

Como puedes observar es una imagen que guarda bastantes simetrías que podemos utilizar para la resolución del ejercicio que nos van a plantear. De este octógono nos proporcionan los vértices A=(-5,7,4), B=(5,7,4) y D=(-5,7,-6). Para resolver el ejercicio que planteamos de cara al futuro diseño debemos:

1.- ¿Son A, B y D vértices de un cuadrado?

2.- En caso de serlo, calcula el vértice C.

3.- Si la distancia que hay de A al vértice O1 es la distancia que hay de A a B, Calcula los vértices del octógono.