2.1 Dependencia e independencia lineal de vectores

Importante

Dados varios vectores de un espacio vectorial y dados varios números se denomina combinación lineal al vector que resulta de hacer las siguientes operaciones: .

Por ejemplo, si en el espacio vectorial consideramos los vectores y , una combinación lineal podría ser

Brújula
Imagen obtenida del Banco de imágenes del ITE

En la escena de abajo aparece el vector como combinación lineal de los vectores e (). Modificando los puntos azules de los ejes podemos hallar otros vectores , apareciendo arriba la combinación de dicho vector en función de e .

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AV - Actividad de Espacios en Blanco

Probemos ahora en . Dado los vectores , y indica el vector que se obtiene como combinación lineal en cada uno de los siguientes casos. Para ello te proporcionamos el...

Centro de operaciones con vectores en el espacio de tres dimensiones

Escalar K1 :

Escalar K2 :

Escalar K3 :

Vector U1 :

Vector U2 :

Vector U3 :

Vector U7 :
Cambios:

Operaciones:

 

1.-

2.-

3.-

4.-

5.-

Practica con otras combinaciones lineales que desees seleccionando otros vectores.

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Ejemplo o ejercicio resuelto

De la misma forma que hemos calculado las combinaciones lineales anteriores, en casos especiales, podemos encontrar como sería la combinación lineal de un vector determinado respecto a otros vectores conocidos. Por ejemplo, si tenemos los vectores y , el vector lo podemos poner como combinación lineal de los dos anteriores dos. Inténtalo a ver cómo lo harías.

AV - Actividad de Espacios en Blanco

  Te proponemos ahora una actividad parecida a la anterior pero en el espacio de tres dimensiones . Dados los vectores , y escribe el vector como combinación lineal de los tres anteriores. Realiza los cálculos y asegúrate de los mismos utilizando la siguiente ventana.

Combinación lineal de vectores en el espacio vectorial de tres dimensiones. Escribe en la primera columna el primer vector, en la segunda el segundo y en la tercera el tercer vector. Escribe en la cuarta columna el vector que desees poner como combinación lineal de los dos anteriores. Los valores A, B y C que aparecen al pulsar en resolver son la combinación lineal pedida

 





A= B= C=

 

 

De esta forma sabemos que

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Importante

Dados varios vectores , , ... de un espacio vectorial, decimos que son linealmente independientes si al resolver la ecuación:

donde es el vector nulo, tenemos como única solución

Tratemos de simplificar esta definición a través de algunos ejemplos

AV - Pregunta de Selección Múltiple

Pregunta

Marca en cada uno de los apartados siguientes los que correspondan a vectores linealmente independientes:

Respuestas

, y

y

y

y

, y

, y

Retroalimentación